n-uplets de variables aléatoires réelles

n-uplets de variables aléatoires réelles

Table des matières

1 Définition d’un n-uplet de variables aléatoires réelles. 2

2 Loi d’un vecteur aléatoire à valeurs dansRⁿ. 2

3 Loi marginale. 2

4 Caractérisation de la loi d’un vecteur aléatoire discret à valeurs dansRⁿ. 2

5 Espérance d’une somme de variables aléatoires. 2

6 Croissance de l’espérance. 3

7 Existence d’une espérance par domination. 3

8 Indépendance mutuelle denvariables aléatoires réelles.. 3

9 Caractérisation de l’indépendance mutuelle denvariables aléatoires réelles.. 3 10 Caractérisation de l’indépendance mutuelle denvariables aléatoires réelles discrètes. 3

11 Lemme des coalitions. 4

12 Espérance du produit de variables aléatoires indépendantes. 4

13 Variance d’une somme de variables aléatoires indépendantes.. 4

14 Somme de variables aléatoires de Bernoulli indépendantes de même paramètre. 4 15 Sommes de variables aléatoires indépendantes suivant des lois de Poisson, des lois binomiales. 5 16 Loi de la somme denvariables aléatoires indépendantes de loiγ. 5 17 Loi de la somme denvariables aléatoires indépendantes suivant une loi normale. 6 18 Indépendance mutuelle d’une suite infinie de variables aléatoires réelles. 6 19 Complément : Variance de la somme de n variables aléatoires discrètes. 6

1 Définition d’un n-uplet de variables aléatoires réelles.

Definition 1 Soient X₁,· · ·,X_nn variables aléatoires réelles définies sur le même espace probabilisable(Ω,A). Le vec- teur aléatoire discret X = (X₁,· · ·,X_n)est l’application:

Ω−→Rⁿ

ω7−→X(ω) = (X₁(ω),· · ·,X_n(ω))

2 Loi d’un vecteur aléatoire à valeurs dans R

.

Definition 2 La loi d’un vecteur(X₁, . . . ,X_n)de variables aléatoires réelles est donné par la fonction F_(X

1,...,X_n) définie surRⁿpar :

F_(X

1,...,Xn)(x₁, . . . ,x_n) =P

‚ _n T

i=1

X_i¶x_i

Π.

Théorème 3 Si deux vecteurs(X₁,X₂, . . . ,X_n)et(Y₁,Y₂, . . . ,Y_n)ont même loi et si g est une fonction continue surRⁿà valeurs dansR, alors les variables aléatoires réelles g(X₁,X₂, . . . ,X_n)et g(Y₁,Y₂, . . . ,Y_n)ont même loi.

3 Loi marginale.

Definition 4 Soit X = (X₁,· · ·,X_n)un vecteur aléatoire définie sur(Ω,A,P)

Pour tout k∈[[1,n]], la loi de X_k( qui peut être obtenue à partir de la loi conjointe de(X₁,· · ·,X_n)) est la loi marginale de X_k.

4 Caractérisation de la loi d’un vecteur aléatoire discret à valeurs dans R

.

Definition 5 On appelle loi de probabilité (ou loi conjointe) d’un vecteur aléatoire discret X = (X₁,· · ·,X_n), l’applica- tion







X₁(Ω)× · · · ×X_n(Ω)−→[0, 1]

(x₁,· · ·,x_n)7−→P [X₁=x₁]∩ · · · ∩[X_n=x_n]

=P

n

\

i=1

[X_i=x_i]

!

=P X₁=x₁;· · ·;X_n=x_n

Remarque 1 X(Ω) ={X(ω)/ω∈Ω} ⊂X₁(Ω)× · · · ×X_n(Ω). Lorsque(x₁,· · ·,x_n)∈X₁(Ω)× · · · ×X_n(Ω)\X(Ω), P

X₁=x₁]∩ · · · ∩[X_n=x_n=0.

Propriété

X

(x₁,···,xn)∈X(Ω)

P X₁=x₁;· · ·;X_n=x_n=1.

Remarque : Obtention des lois marginales

∀x_k∈X_k(Ω), P [X_k=x_k]= X

x₁∈X1(Ω)

· · · X

x_k−1∈X_k−1(Ω)

X

x_k+1∈X_k+1(Ω)

· · · X

x_n∈Xn(Ω)

P X₁=x₁;· · ·;X_n=x_n .

5 Espérance d’une somme de variables aléatoires.

Théorème 6 Si X et Y admettent une espérance, X+Y admet une espérance et E(X+Y) =E(X) +E(Y). Théorème 7 Généralisation à n variables aléatoires

Soit X₁, . . . ,X_nn variables aléatoires définies sur l’espace(Ω,A,P). On suppose que, pour tout k∈[[1,n]], X_k admet une espérance.

Alors la variable aléatoire

n

X

k=1

X_k admet une espérance et

E

n

X

k=1

X_k

!

=

n

X

k=1

E(X_k).

Exercice 1 : Utilisation de la linéarité de l’espérance

n souris (minimum 3) sont lâchées en direction de3cages, chaque cage pouvant contenir les n souris et chaque souris allant dans une cage au hasard.

1. Calculer la probabilité pour qu’une cage au moins reste vide.

2. Soit X le variable aléatoire égale au nombre de cages restées vides. Calculer l’espérance de X .

6 Croissance de l’espérance.

Théorème 8 Si X ¶Y presque sûrement et si X et Y admettent une espérance, alors E(X)¶E(Y).

7 Existence d’une espérance par domination.

Théorème 9 Si X et Y sont deux variables aléatoires vérifiant 0 ¶ |X| ¶ Y presque sûrement, et si Y admet une espérance, alors X admet également une espérance. Dans ce cas,|E(X)|¶E(Y).

Exercice 2 Pour x réel positif , on note[x]la partie entière de x , c’est-à-dire l’unique entier n tel que n¶x<n+1.

1. Soit X une variable aléatoire réelle de densité f , à valeurs positives définie sur un espace probabilisé(Ω,A,P). On suppose que f est continue surR⁺. On pose Y= [X]. Quelle est la loi de Y ?

2. Trouver une majoration simple de la variable aléatoire|X−Y|. En déduire que la variable aléatoire X−Y admet une espérance.

3. Montrer que E(Y)existe si et seulement si E(X)existe. Montrer qu’on a alors E(Y)¶E(X)¶E(Y) +1.

8 Indépendance mutuelle de n variables aléatoires réelles..

Definition 10 X₁, . . ., X_nsont mutuellement indépendantes si et seulement si : F_(X

1,...,X_n)(x₁, . . . ,x_n) =Qⁿ

k=1

F_X

k(x_k) pour tous réels x₁, . . . ,x_n.

9 Caractérisation de l’indépendance mutuelle de n variables aléatoires réelles..

Théorème 11 • X₁, . . ., X_nsont mutuellement indépendantes si et seulement si : P

‚– _n T

i=1

X_i∈I_i

™Œ

=Qⁿ

i=1

P([X_i∈I_i]) pour tous intervalles I₁, . . ., I_ndeR.

• X₁, . . ., X_nsont mutuellement indépendantes si et seulement si toute famille d’événements(A₁, . . . ,A_n), avec A_kélément deAX_k, est une famille d’événements mutuellement indépendants.

Exercice 3 Soit(X₁, . . . ,X_n)n variables aléatoires indépendantes. On suppose que

∀k∈[[1,n]], X_k,→ E(αk). Déterminer la loi demin(X₁, . . . ,X_n).

10 Caractérisation de l’indépendance mutuelle de n variables aléatoires réelles discrètes.

Théorème 12 Les n variables aléatoires réelles discrètes X₁,· · ·,X_nsont mutuellement indépendantes si et seulement si pour tout(x₁, . . . ,x_n)∈X₁(Ω)×. . .×X_n(Ω):

P

n

\

i=1

[X_i=x_i]

!

=

n

Y

i=1

P([X_i=x_i]).

11 Lemme des coalitions.

Théorème 13 Si X₁, X₂,. . ., X_n, sont indépendantes, toute variable aléatoire fonction de X₁, X₂, . . ., X_p est indépen- dante de toute variable aléatoire fonction de X_p+1, X_p+2,. . ., X_n.

Remarque

Si lesnvariables aléatoires réellesX₁,· · ·,X_nsont mutuellement indépendantes, alors

•X₁+· · ·+X_n−1etX_nsont indépendantes

•X₁× · · · ×X_n−1etX_nsont indépendantes.

•X₁,· · ·,X_nsont 2 à 2 indépendantes.

Exercice 4 On lance 2 dés équilibrés : un rouge et un bleu. X est la variable aléatoire réelle qui vaut 1 si le dé rouge amène un numéro pair et 0 sinon. Y est la variable aléatoire réelle qui vaut 1 si le dé bleu amène un numéro pair et 0 sinon. Z est la variable aléatoire réelle qui vaut 1 si la somme des numéros obtenus est paire et 0 sinon.

1. Montrer que les variables aléatoires X,Y,Z sont 2 à 2 indépendantes.

2. Montrer que les variables aléatoires X,Y,Z ne sont pas mutuellement indépendantes.

12 Espérance du produit de variables aléatoires indépendantes.

Théorème 14 Si X et Y admettent une espérance et sont indépendantes, X Y admet une espérance et E(X Y) =E(X)E(Y) Théorème 15 Généralisation à n variables aléatoires mutuellement indépendantes

Soit X₁, . . . ,X_nn variables aléatoires définies sur l’espace(Ω,A,P)et mutuellement indépendantes. On suppose que, pour tout k∈[[1,n]], X_kadmet une espérance. Alors la variable aléatoire

n

Y

k=1

X_kadmet une espérance et

E

n

Y

k=1

X_k

!

=

n

Y

k=1

E(X_k).

Exercice 5 Soit X₁, . . . ,X_nn variables aléatoires mutuellement indépendantes à valeurs dansN. Pour tout k∈[[1,n]], on note G_Xkla fonction génératrice de X_k. On note G_X1+···+Xnla fonction génératrice de

n

X

k=1

X_k. Montrer que :

∀t∈[0, 1], G_X1+···+X

n(t) =

n

Y

k=1

G_X

k(t).

13 Variance d’une somme de variables aléatoires indépendantes..

Théorème 16 Si X et Y sont indépendantes et admettent une variance, X+Y admet une variance et V(X+Y) =V(X) +V(Y). Théorème 17 Généralisation à n variables aléatoires mutuellement indépendantes.

Soit X₁, . . . ,X_nn variables aléatoires définies sur l’espace (Ω,A,P). On suppose que les variables aléatoires X₁,· · ·,X_n sont mutuellement indépendantes et que pour tout k∈[[1,n]], X_kadmet une variance . Alors la variable aléatoire

n

X

k=1

X_k admet une variance et

V

n

X

k=1

X_k

!

=

n

X

k=1

V(X_k).

14 Somme de variables aléatoires de Bernoulli indépendantes de même paramètre.

Théorème 18 La somme de n variables aléatoires de Bernoulli indépendantes et de même espérance p suit la loi bino- mialeB(n,p).

15 Sommes de variables aléatoires indépendantes suivant des lois de Pois- son, des lois binomiales.

Théorème 19 Soit X₁, . . . ,X_k k variables aléatoires réelles définies sur l’espace(Ω,A,P). On suppose que les variables aléatoires X₁,· · ·,X_ksont mutuellement indépendantes et que pour tout i∈[[1,k]], X_isuit la loi de PoissonP(λi). Alors la variable aléatoire

k

X

i=1

X_isuit la loi de PoissonP

k

X

i=1

λi

! .

Théorème 20 Soit X₁, . . . ,X_k k variables aléatoires réelles définies sur l’espace(Ω,A,P). On suppose que les variables aléatoires X₁,· · ·,X_k sont mutuellement indépendantes et que pour tout i∈[[1,k]], X_i suit la loi binomialeB(n_i,p). Alors la variable aléatoire

k

X

i=1

X_isuit la loi binomialeB

k

X

i=1

n_i, p

! .

16 Loi de la somme de n variables aléatoires indépendantes de loi γ .

Théorème 21 Soit n un entier supérieur ou égal à 2,α1, . . . ,αndes réels strictement positifs et(X₁, . . . ,X_n)une famille de variables aléatoires mutuellement indépendantes telle que X_i,→γ(αi). Alors :

X₁+· · ·+X_n,→γ(α1+· · ·+αn) En particulier,

Si pour tout i∈[[1,n]], X_i,→ E(1) =γ(1), alors :

X₁+· · ·+X_n,→γ(n)

Exercice 6 Soit(X₁, . . . ,X_n)une famille de n(n¾3)variables aléatoires mutuellement indépendantes telle que pour tout i∈[[1,n]], X_i,→ E(1). On pose S_n=X₁+· · ·+X_n. Montrer que 1

S_n admet une espérance et une variance que l’on calculera.

Étude de la loi de la somme denvariables aléatoires indépendantes de loiE(λ)

Pour étudier la somme denvariables aléatoires indépendantes de loiE(λ), on se ramènera après multiplication par λà une somme denvariables aléatoires indépendantes de loiE(1).

Résultat à savoir redémontrer

Si pour touti∈[[1,n]],X_i,→ E(λ)(oùλ >0) alors :S_n=X₁+· · ·+X_nadmet pour densité f_ndéfinie par :

t7−→f_n(t) =







0 sit¶0

λe^−λt(λt)ⁿ⁻¹

(n−1)! sit>0 Exercice 7 (oral hec)

On considère une suite de variables aléatoires réelles mutuellement indépendantes N,X₁, . . . ,X_n, . . . définies sur le même espace de probabilité(Ω,A,P).

Soit p∈]0, 1[, q=1−p etλun réel strictement positif.

On suppose que N suit la loi géométrique de paramètre p et que les variables X_i, i∈N^∗, suivent la loi exponentielle de paramètreλ.

On note S la variable aléatoire

N

P

i=1

X_i.

1. Déterminer la loi conditionnelle de S sachant que[N=n].

2. En déduire la fonction de répartition puis la loi de S.(on admettra que l’on peut intervertir la somme et l’intégrale mises en jeu)

Vérifier que :E(S) =E(X₁)E(N).

17 Loi de la somme de n variables aléatoires indépendantes suivant une loi normale.

Théorème 22 Soit n un entier supérieur ou égal à 2,(m₁, . . . ,m_n)une famille de réels,(σ1, . . . ,σn)une famille de réels strictement positifs et(X₁, . . . ,X_n)une famille de variables aléatoires mutuellement indépendantes telles

que X_i,→ N(m_i,σ²i)pour tout i∈[[1,n]]. Alors :

X₁+· · ·+X_n,→ N(m₁+· · ·+m_n,σ²₁+· · ·+σ²n)

18 Indépendance mutuelle d’une suite infinie de variables aléatoires réelles.

Definition 23 Soit(X_n)n∈N^?une suite de variables aléatoires réelles définies sur(Ω,A,P). On dit que(X_n)n∈N^? est une suite de variables aléatoires réelles mutuellement indépendantes lorsque pour tout n∈N^?, X₁, . . . ,X_nsont mutuellement indépendantes.

Exercice 8 : Utilisation de la linéarité de l’espérance

Soit(X_n)n∈N^? une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes suivant toutes la même loi géométrique de paramètre a>0. Pour tout n deN^?, on pose S_n=X₁+X₂+· · ·+X_n.

1. Montrer que la variable aléatoire 1

S_n a une espérance, qu’on note m.

(on ne cherchera pas à calculer m)

2. Soit k un entier deN^?. Calculer l’espéranceE S_k

S_n

en fonction de n, a, k et m.

Exercice 9 : Somme de variables aléatoires indépendantes suivant une loi géométrique

Soit N,X₁,· · ·,X_n,· · · une suite de variables aléatoires à valeurs dansN^?,mutuellement indépendantes, définies sur le même espace probabilisé. On suppose que pour tout n deN^?, X_nsuit une loi géométrique de paramètre p et que N suit une loi géométrique de paramètre p⁰.

1. Déterminer pour n∈N^?la loi de

n

X

k=1

X_k. 2. Soit T la variable aléatoire réelle définie par :

∀ω∈Ω , T(ω) =

N(ω)X

k=1

X_k(ω). (a) En utilisant la formule de l’espérance totale, déterminerE(T). (b) Déterminer la loi de T .

19 Complément : Variance de la somme de n variables aléatoires discrètes.

Théorème 24 Soit X₁, . . . ,X_n n variables aléatoires discrètes définies sur l’espace(Ω,A,P). On suppose que, pour tout k∈[[1,n]], X_kadmet un moment d’ordre 2. Alors la variable aléatoire discrète

n

X

k=1

X_kadmet une variance et

V

n

X

k=1

X_k

!

=

n

X

k=1

V(X_k) +2 X

1¶i<j¶n

C ov(X_i,X_j). Remarque

La somme X

1¶i<j¶n

C ov(X_i,X_j)comporte exactement ⁿ

2

termes.