Variables aléatoires réelles

(1)

Variables aléatoires réelles

Table des matières

1 Généralités sur les variables aléatoires réelles. 3

1.1 Rappels sur lesσ-algèbres ou tribus d’événements. . . 3

1.2 σ-algèbreBdes boréliens. . . 3

1.3 Définition d’une variable aléatoire. . . 3

1.4 σ-algèbre associée à une variable aléatoireX. . . 3

1.5 Opérations sur les variables aléatoires. . . 3

1.6 Fonction de répartition d’une variable aléatoire réelle. . . 3

2 Espérance et conditionnement pour les variables aléatoires discrètes. 4 2.1 Définition de l’espérance et de l’espérance conditionnelle. . . 4

2.2 Théorème de transfert. . . 4

2.3 Existence d’une espérance par domination. . . 4

2.4 Croissance de l’espérance pour les variables aléatoires discrètes. . . 4

2.5 Formule de l’espérance totale. . . 5

2.6 Moments d’ordrer(r∈N^∗)d’une variable aléatoire discrète. . . 5

2.7 Variance . . . 5

2.8 Ecart-type . . . 5

2.9 Variable centrée, réduite, centrée réduite . . . 6

2.10 Fonction génératrice (hors programme) . . . 6

2.10.1 Définition . . . 6

2.10.2 Propriétés . . . 6

2.10.3 Cas oùX est une variable aléatoire finie . . . 6

3 Lois discrètes usuelles 6 3.1 Variables de Bernoulli. . . 6

3.2 Variables binomiales. . . 7

3.3 Variables uniformes discrètes. . . 7

3.4 Variables géométriques. . . 7

3.5 Variables de Poisson. . . 8

4 Compléments sur les variables aléatoires à densité. 8 4.1 Définition d’une variable aléatoire à densité. . . 8

4.2 Propriétés d’une variable aléatoire à densité : lien entre densité et probabilité . . . 8

4.3 Caractérisation de la fonction de répartition d’une v. a. r. à densité. . . 9

4.4 Caractérisation d’une fonction de densité. . . 9

4.5 Variable aléatoire à densité prenant ses valeurs dans un intervalle. . . 9

4.6 Trois lois usuelles . . . 9

4.7 Contre-exemple : v.a.r. ni discrète ni à densité . . . 10

4.8 Exemples simples de calculs de fonctions de répartition et de densités de fonctions d’une variable aléatoire à densité. . . 10

4.8.1 Loi deY =aX+boù(a,b)∈R^?×R . . . 10

4.8.2 Loi deY =−X. . . 10

4.8.3 Loi deY =X². . . 11

4.8.4 Loi deY =|X|. . . 11

4.8.5 Loi deY =e^X. . . 11

4.8.6 Loi deY =1/X. . . 11

(2)

4.8.7 Loi deY =ϕ◦X. dans le cas oùϕest de classeC¹strictement monotone . . . 11

4.8.8 Loi deY =ϕ◦X dans des cas particuliers oùϕn est pas continue . . . 12

4.9 Définition de l’espérance . . . 12

4.10 Exemple de variable aléatoire à densité n’admettant pas d’espérance . . . 12

4.11 Théorème de transfert . . . 12

4.12 Propriétés de l’espérance des variables aléatoires réelles à densité . . . 12

4.13 Moments d’ordreroùr∈N^? . . . 13

4.14 Moments centrés d’ordreroùr∈N^? . . . 13

4.15 Variance, écart-type . . . 13

4.16 Variable centrée, réduite, centrée réduite . . . 14

5 Loi uniforme. 14 5.1 Définition. . . 14

5.2 Fonction de répartition . . . 14

5.3 Espérance et variance . . . 14

6 Loi exponentielle. 15 6.1 Définition. . . 15

6.2 Fonction de répartition. . . 15

6.4 Caractérisation par absence de mémoire. . . 16

7 Étude de loi normaleN(0, 1). 16 8 Étude de la loi normale de paramètres(m,σ²). 18 8.1 Stabilité de la loi normale par transformation affine. . . 18

8.2 Espérance et variance. . . 18

9 Loisγ. 19 9.1 Définition . . . 19

(3)

1 Généralités sur les variables aléatoires réelles.

1.1 Rappels sur les σ-algèbres ou tribus d’événements.

Definition 1 On appelleσ-algèbre (ou tribu) surΩ, tout sous-ensembleA deP(Ω)tel que

•Ω∈ A,

• ∀A∈ A , A∈ A,

•pour toute famille finie ou dénombrable(A_i)i∈I d’éléments deA ,S

i∈I

A_i∈ A.

Considérant une expérience aléatoireE et l’ensemble de ses résultatsΩ, toute tribuA deP(Ω)est appelée tribu d’événements deΩ.

Exemple: Lorsque l’universΩest fini ou dénombrable, on choisit le plus souvent pour tribu d’événements : A =P(Ω)

Definition 2 On appelle espace probabilisable le couple(Ω,A), oùΩest l’univers des résultats associés à une expérience aléatoireE etA une tribu d’événements liés àE.

Definition 3 Si(A_i)i∈I est une famille d’événements, on appelle tribu (ouσ-algèbre) engendrée par la famille(A_i)i∈Ila plus petite tribu deΩau sens de l’inclusion contenant tous les A_i, i∈I .

1.2 σ-algèbre B des boréliens.

Definition 4 SiΩ =Rla tribu A utilisée est la tribu engendrée par les intervalles deR.A est appelée la tribu des boréliens.

1.3 Définition d’une variable aléatoire.

Definition 5 X est une variable aléatoire réelle définie sur l’espace probabilisable(Ω,A)si et seulement si X est une application deΩdansRvérifiant

∀x∈R, [X ¶x]∈ A. Propriété :

Pour tout borélienBet pour toute variable aléatoire réelleX définie sur(Ω,A),[X ∈B]appartient àA.

1.4 σ -algèbre associée à une variable aléatoire X .

Definition 6 Laσ- algèbre associée à la variable aléatoire X est la tribu engendrée par la famille([X ¶x])x∈R. Elle sera notéeAXC’est la plus petite tribu contenant les événements[X ¶x]pour tout réel x. Elle représente l’informa- tion fournie par X .

1.5 Opérations sur les variables aléatoires.

Théorème 7 Une somme, un produit de variables aléatoires sont des variables aléatoires.

1.6 Fonction de répartition d’une variable aléatoire réelle.

On considère un espace probabilisé(Ω,A,P).

Definition 8 Soit X une variable aléatoire réelle. La fonction de répartition de X est l’application F deR dans[0, 1] définie par :

∀x∈R , F(x) =P([X¶x]).

(4)

Théorème 9 Si F est la fonction de répartition d’une variable aléatoire réelle X alors

•F est croissante.

• lim

x→+∞F(x) =1.

• lim

x→−∞F(x) =0.

•F est continue à droite (c’est-à-dire pour tout x₀deR lim

x→x₀

>

F(x) =F(x₀).)

Théorème 10 Si F est une application deRdansRvérifiant ces quatre propriétés alors F est une fonction de répartition.

2 Espérance et conditionnement pour les variables aléatoires discrètes.

Dans ce paragraphe, les variables aléatoires réelles X définies sur (Ω,A) sont discrètes c’est-à-dire X(Ω) est un ensemble fini ou dénombrable.

2.1 Définition de l’espérance et de l’espérance conditionnelle.

X est une variable aléatoire discrète telle queX(Ω) =x_i, i∈I oùI est une partie deN.

Definition 11 X admet une espérance lorsque la série de terme général x_iP([X =x_i])est absolument convergente et on note alors

X=E(X) =X

i∈I

x_iP([X=x_i]) = X

x∈X(Ω)

x P([X=x])

Definition 12 Soit A un événement de probabilité non nulle. Si la série de terme général x_iP_A([X = x_i])est absolu- ment convergente, on appelle espérance conditionnelle de X sachant A (et on la note E(X|A)) l’espérance de X pour la probabilité conditionnelle P_Ac’est-à-dire

E(X|A) =X

i∈I

x_iP_A([X =x_i]) = X

x∈X(Ω)

x P_A([X =x])

2.2 Théorème de transfert.

Théorème 13 Soient X une variable aléatoire discrète telle que X(Ω) =x_i, i∈I , g une application définie sur X(Ω)alors l’application g◦X notée abusivement g(X)est une variable aléatoire discrète. De plus

E(g(X)) =X

i∈I

g(x_i)P([X=x_i]) = X

x∈X(Ω)

g(x)P([X =x])

lorsque cette série est absolument convergente.

En particulier,∀(a,b)∈R, E(aX+b) =aE(X) +b(lorsqueX admet une espérance).

2.3 Existence d’une espérance par domination.

Théorème 14 Si X et Y sont deux variables aléatoires discrètes vérifiant0¶|X|¶Y presque sûrement, et si Y admet une espérance, alors X admet également une espérance. Dans ce cas,|E(X)|¶E(Y).

2.4 Croissance de l’espérance pour les variables aléatoires discrètes.

Théorème 15 Soient X et Y deux variables aléatoires discrètes définies sur le même espace probabilisé (Ω,A,P)et admettant chacune une espérance. On suppose que X ¾ Y presque sûrement. Alors E(X) ¾ E(Y). En particulier si X(Ω)⊂R⁺et si E(X)existe alors E(X)¾0.

(5)

2.5 Formule de l’espérance totale.

Théorème 16 Soit X une variable aléatoire discrète définie sur(Ω,A,P), soit(A_n)un système complet d’événements et J l’ensemble des entiers n tels que P(A_n)6=0. Alors X admet une espérance pour P si et seulement si la série :

X

(x,n)∈X(Ω)×J

x P_A_n([X=x])P(A_n)

converge absolument. Dans ce cas, pour tout n dans J , l’espérance E(X|A_n)est définie et E(X) =X

n∈J

E(X|A_n)P(A_n).

Théorème 17 : Cas particulier des variables aléatoires discrète à valeurs positives

Soit X une variable aléatoire discrète définie sur l’espace probabilisé(Ω,A,P)à valeurs dansR⁺. Soit(A_n)un système complet d’événements et J l’ensemble des entiers n tels que P(A_n)6=0. Alors :

X admet une espérance⇐⇒







∀n∈J , E(X|A_n)e x ist e et

l a sér ieX

n∈J

E(X|A_n)P(A_n)conver g e Dans ce cas E(X) =X

n∈J

E(X|A_n)P(A_n)

2.6 Moments d’ordre r ( r ∈ N

^∗

) d’une variable aléatoire discrète.

Definition 18 Soit r∈N^?On appelle moment d’ordre r de la variable aléatoire discrète X et on note m_r(X)la quantité E(X^r)si cette espérance existe.

m_r(X) =E(X^r) = X

x∈X(Ω)

x^rP([X=x])l orsque cet t e sér ie est a bsolument conver g ent e.

Definition 19 Soit r∈N^? On appelle moment centré d’ordre r de la variable aléatoire discrète X et on noteµr(X)la quantité E((X−E(X))^r)si cette espérance existe.

µr(X) =E((X−E(X))^r) = X

x∈X(Ω)

(x−E(X))^rP([X =x])l orsque cet t e sér ie est a bsolument conver g ent e.

Propriétés

•Soitr∈N^?. Sim_r(X) existe alorsm_p(X)existe pour toutp∈[[1,r]].

•Soitr∈N^?. Alorsµr(X)existe⇐⇒m_r(X)existe.

2.7 Variance

Definition 20 On appelle variance de la variable aléatoire discrète X la quantitéµ2(X)si elle existe.

V(X) =E((X−E(X))²) = X

x∈X(Ω)

(x−E(X))²P([X=x])l orsque cet t e sér ie est a bsolument conver g ent e.

Propriétés de la variance d’une variable aléatoire discrète

•X admet une variance si et seulement siX admet un moment d’ordre 2 et dans ce cas on a : V(X) =E(X²)−(E(X))² (formule de Huygens).

•SiX admet une variance alorsV(X)¾0.

De plus :V(X) =0⇐⇒X est constante presque sûrement ( c’est-à-dire :∃m∈R/P([X=m]) =1)

•SiX admet une variance alors :∀(a,b)∈R², V(aX +b) =a²V(X).

2.8 Ecart-type

Definition 21 Si X est une variable aléatoire discrète admettant une variance, on appelle écart-type de X le nombre σX=p

V(X).

Propriétés de l’ecart-type d’une variable aléatoire discrète

∀(a,b)∈R², σaX+b=|a|σX.

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2.9 Variable centrée, réduite, centrée réduite

Definition 22 Une variable aléatoire est dite centrée si elle admet une espérance et si cette espérance est nulle. La variable aléatoire Y centrée associée à la variable aléatoire X est : Y=X−E(X).

Definition 23 Une variable aléatoire est dite réduite si elle admet une variance et si cette variance est égale à 1.

Definition 24 Une variable aléatoire est dite centrée réduite si elle admet une variance, si son espérance est nulle et si sa variance est égale à 1. La variable aléatoire X^? centrée réduite associée à la variable aléatoire X (non constante ou quasi-constante) est : X^?=X−E(X)

σX

.

2.10 Fonction génératrice (hors programme)

2.10.1 Définition

SoitX une variable aléatoire à valeurs dansN. La fonction génératrice deX est la fonction définie par : G_X(t) =

X+∞

k=0

P([X=k])t^k(lorsque cette série converge).

2.10.2 Propriétés

•Parfois , on définit simplement la fonction génératriceG_X sur l’intervalle[0, 1]. (On remarque que pour tout t∈[0, 1], la série converge).

•G_X(1) =1

• ∀t∈[0, 1], G_X(t) =E t^X .

2.10.3 Cas oùX est une variable aléatoire finie

Si on suppose que :∃N∈N/X(Ω)∈[[0,N]], alorsG_X est une fonction polynomiale . On peut montrer que :

•E(X) =G_X⁰(1).

•V(X) =G_X⁰⁰(1) +G_X⁰(1)−

G⁰_X(1)2

•X etY étant deux variables aléatoires finies à valeurs dansN, on a : X etY ont la même loi ⇐⇒G_X =G_Y.

3 Lois discrètes usuelles

3.1 Variables de Bernoulli.

Epreuve de Bernoulli: une épreuve ayant deux résultats possibles notés S et E (succès et échec) est une épreuve de Bernoulli.

SoitX une variable aléatoire définie sur l’espace(Ω,A,P).

Definition 25 Soit p∈]0, 1[. On dit que X est une variable de Bernoulli de paramètre p si i. X(Ω) ={0, 1}.

ii. P(X=1) =p et P(X=0) =1−p.

On note alorsX ,→ B 1,p

ouX,→ B p Exemples Types.

• SoitE une épreuve de Bernoulli où la probabilité de succès est p. La variable X qui vaut 1 lorsque l’épreuve donne un succès et 0 sinon, est une variable de Bernoulli de paramètrep.

X est la variable de Bernoulli associée à l’épreuveE

•SoitAun événement. La variableχAdéfinie par

∀ω∈Ω, χA(ω) =

1 siω∈A 0 siω /∈A

(7)

est une variable de Bernoulli de paramètreP(A). χAest la variable indicatrice de l’événementA.

Espérance et variance.

Théorème 26 Si X ,→ B 1,p

alors l’espérance et la variance de X valent respectivement E(X) =p et V(X) =pq où q=1−p.

3.2 Variables binomiales.

Definition 27 Soit p∈]0, 1[. On dit que X est distribuée selon la loi Binomiale de paramètre n et p si i. X(Ω) = [[0,n]].

ii. ∀k∈[[0,n]], P(X =k) = n

k

p^kqⁿ⁻^k où q=1−p.

On note alors X ,→ B n,p Exemples Types.

Le nombreX de succès obtenus surnépreuves de Bernoulli indépendantes de paramètrepest distribué selon la loi binomialeB n,p

. Espérance et variance.

Théorème 28 Si X ,→ B n,palors l’espérance et la variance de X valent respectivement E(X) =np et V(X) =npq où q=1−p.

3.3 Variables uniformes discrètes.

Definition 29 On dit que X est distribuée selon la loi uniforme sur

x₁,x₂,· · ·,x_N si i. X(Ω) =

x₁,x₂,· · ·,x_N où les x_isont distincts.

ii. P X =x₁

=P X=x₂

=· · ·=P X=x_N

= 1 N. On note alors X ,→ Ux₁,x₂,· · ·,x_N

Exemple Type.

SiX est un numéro choisi au hasard dans[[1,N]]. alorsX,→ U[[1,N]]

Théorème 30 Si X ,→ U[[1,N]], alors l’espérance et la variance de X valent respectivement E(X) = N+1

2 et V(X) = N²−1 12 .

3.4 Variables géométriques.

Definition 31 Soit p∈]0, 1[. On pose q=1−p. On dit que X est distribuée selon la géométrique de paramètre p si i. X(Ω) =N^?∪ {+∞}.

ii. ∀k∈N^?, P(X=k) =pq^k⁻¹. On note alors X ,→ G p

.

(8)

Exemple Type.

X est le temps d’attente du premier succés dans une suite d’épreuves de Bernoulli indépendantes de paramètrep.

Remarque.

Si X ,→ G p

,P(X = +∞) =0.X prend presque sûrement des valeurs réelles, on peut convenir de négliger les éventualités pour lesquellesX ne prend pas une valeur réelle et on écriraX(Ω) =N^?.

Théorème 32 Si X ,→ G(p)alors l’espérance et la variance de X valent respectivement E(X) = 1

p et V(X) = q p².

3.5 Variables de Poisson.

Definition 33 On dit que X est distribuée selon la loi de Poisson de paramètreλ(λ∈R^∗+)si i. X(Ω) =N.

ii. ∀k∈N, P(X=k) =λ^k k!e^−λ. On note alors X ,→ P (λ). Espérance et variance.

Théorème 34 Si X ,→ P (λ)alors l’espérance et la variance de X valent respectivement E(X) =λet V(X) =λ

4 Compléments sur les variables aléatoires à densité.

4.1 Définition d’une variable aléatoire à densité.

On dit qu’une variable aléatoireX est à densité lorsque sa fonction de répartitionF_X est continue surRet de classe C¹ sur R éventuellement privé d’un nombre fini de points. De plus, toute fonction f_X:R →R positive sur R et telle que f_X(x) =F_X⁰(x)pour tout réelx sauf éventuellement en un nombre fini de points est appelée densité de la variable aléatoireX.

4.2 Propriétés d’une variable aléatoire à densité : lien entre densité et probabilité

Théorème 35 Soit X une variable aléatoire réelle à densité.

On note f_X une densité de X et F_X sa fonction de répartition. Alors :

• ∀x∈R, P(X=x) =0,

• ∀x∈R, P(X<x) =P(X¶x) =F_X(x) = Z x

−∞

f_X(t)dt. En conséquence : Z+∞

−∞

f_X(t)dt=1

• ∀x∈R, P(X¾x) =P(X>x) =1−F_X(x) = Z+∞

x

f_X(t)dt

•Pour tout couple(x,y)∈R²vérifiant x<y, on a :

P(x¶X¶y) =P(x¶X <y) =P(x<X¶ y) =P(x<X< y) = Z y

x

f_X(t)dt=F_X(y)−F_X(x),

•De manière générale , on a pour tout intervalle I deR:

P(X ∈I) = Z

I

f_X(t)dt= Z

I

f_X

(9)

4.3 Caractérisation de la fonction de répartition d’une v. a. r. à densité.

Théorème 36 Soit F:R→R.

Alors F est la fonction de répartition d’une variable aléatoire à densité X si et seulement si : (1)F est croissante,

(2)F est continue surR,

(3)F est de classeC¹surRéventuellement privé d’un nombre fini de points, (4) lim

x→+∞F(x) =1et lim

x→−∞F(x) =0 Remarque

Si on sait déjà queF est une fonction de répartition, seules les propriétés(2)et(3)doivent être vérifiées.

4.4 Caractérisation d’une fonction de densité.

Théorème 37 Soit f :R→R. Alors f est une densité d’une variable aléatoire à densité X si et seulement si :

• f est positive surR,

• f est continue surRsauf éventuellement en un nombre fini de réels,

• Z +∞

−∞

f(t)dt converge et vaut 1.

Remarques

•SoitX est une variable aléatoire réelle de densité f continue surR. On noteF sa fonction de répartition.

AlorsF est de classeC¹surRet

∀x∈R, F⁰(x) = f(x)

•Déterminer la loi d’une variable aléatoire réelle à densité , c’est déterminer sa fonction de répartition ou une fonction de densité.

4.5 Variable aléatoire à densité prenant ses valeurs dans un intervalle.

•SoitX une variable aléatoire à densité prenant ses valeurs dans[a,b]alors

∀x<a F_X(x) =0 doncF_X⁰(x) =0.

∀x>b F_X(x) =1 doncF_X⁰(x) =0.

On choisira donc f_X vérifiant :∀x∈/[a,b], f_X(x) =0.

•SoitX une variable aléatoire de densité f_X vérifiant :∀x∈/I (oùI est un intervalle deR) f_X(x) =0 alorsP(X∈I) =1.X est donc presque sûrement à valeurs dansI.

Par exemple si∀x<0, f_X(x) =0 alorsP(X<0) =0.

X est donc presque sûrement à valeurs dansR⁺.

•Pour une variable aléatoireX à densité, on ne cherchera pas à épiloguer pour savoir si telle valeur ponctuelle x₀fait partie ou non deX(Ω)car dans tous les casP(X =x₀) =0.

4.6 Trois lois usuelles .

• Loi uniforme sur[0,1] La fonction :

11_[0,1]:x7→

¨0 six∈/[0, 1] 1 six∈[0, 1] est une fonction de densité.

On dit qu’une variable aléatoireX suit la loi uniforme sur l’intervalle[0, 1]si et seulement si l’une de ses densités est la fonction 11_[0,1]et on note alors :

X,→ U([0, 1])

Les fonctions 11_[0,1[, 11_]0,1]et 11_]0,1[sont aussi des densités deX,→ U([0, 1]).

(10)

• Loi exponentielle

Pour tout réelλ >0, la fonction :

x7→λe^−λ^x11_[0,+∞[(x) =

¨0 six<0 λe^−λx six¾0 est une fonction de densité.

Soitλun réel strictement positif. On dit qu’une variable aléatoireX suit la loi exponentielle de

paramètreλsi et seulement si l’une de ses densités est la fonctionx7→λe^−λ^x11_[0,+∞[(x), ce que l’on note : X,→ E(λ)

• Loi normale centrée réduite La fonction :

x7→ 1 p2πexp

−x² 2

est une densité de probabilité.

On dit qu’une variable aléatoireX suit la loi normale centrée réduite si et seulement si l’une de ses densités est la fonction x7→ 1

p2πexp

−x² 2

et on note : X ,→ N(0, 1)

4.7 Contre-exemple : v.a.r. ni discrète ni à densité .

SoitX ,→ E(1).

On poseY=Max(1,X).

Déterminer la fonction de répartition deY.

Représenter graphiquement cette fonction de répartition.

Y est-elle une variable aléatoire à densité ?

4.8 Exemples simples de calculs de fonctions de répartition et de densités de fonctions d’une variable aléatoire à densité.

Dans tout ce paragraphe,X est une variable aléatoire réelle de densité f et de fonction de répartitionF et on recherche la loi deY =ϕ◦X souvent abusivement notéeϕ(X).

Les résultats obtenus dans ce paragraphe ne sont pas à connaitre par coeur mais doivent être retrouvés.

4.8.1 Loi deY =aX+boù(a,b)∈R^?×R La fonction gdéfinie surRpar :

g(y) = 1

|a|fy−b a

est une densité de la variable aléatoireY=aX+b.

4.8.2 Loi deY =−X.

La fonction gdéfinie surRpar :

g(y) = f(−y) est une densité de la variable aléatoireY=−X.

(11)

4.8.3 Loi deY =X².

g(y) =







0 siy¶0

1 2py

f py

+f −py

siy>0 est une densité de la variable aléatoireY=X².

4.8.4 Loi deY =|X|.

g(y) =

¨0 siy¶0 f y+f −y

siy>0 est une densité de la variable aléatoireY=|X|.

4.8.5 Loi deY =e^X.

g(y) =







0 siy¶0

1

yf(lny) siy>0 est une densité de la variable aléatoireY=e^X.

4.8.6 Loi deY =1/X.

La fonction de répartitionGdeY est définie par :

G(y) =







F(0)−F(1/y) siy<0

F(0) siy=0

F(0) +1−F(1/y)) siy>0 On en déduit queY admet pour fonction de densité la fonctiongdéfinie par :

∀y∈R^?, g(y) = 1 y²f

1 y

.

4.8.7 Loi deY =ϕ◦X.dans le cas oùϕest de classeC¹strictement monotone

Soit f une densité d’une variable aléatoireX. Soitϕune fonction de classeC¹, strictement monotone et de fonction dérivéeϕ⁰ne s’annulant pas sur un intervalleI contenantX(Ω).

Alors,Y =ϕ◦X est une variable aléatoire à densité dont une densité est la fonction gdéfinie surRpar :

g(y) =





 f

ϕ⁻¹(y)

ϕ⁰ ϕ⁻¹(y)

si y∈ϕ(I)

0 sinon

(12)

4.8.8 Loi deY =ϕ◦X dans des cas particuliers oùϕ n est pas continue Exercice 1 Soit X ,→ E(α)α >0.

1. Déterminer la loi de Y = [X]. ([x]désigne la partie entière de x).

2. Déterminer la loi de Y+1.En déduire l’espérance de Y . 3. Déterminer la loi de Z=X−[X].

Exercice 2 Soit X une variable aléatoire de densité x7−→ 1 ln 2× 1

1+x×1_[0,1](x). Montrer que Y = 1

X − 1

X

suit la même loi que X .

4.9 Définition de l’espérance

Definition 38 Soit X une variable aléatoire à densité dont f est l’une de ses densités.

On dit que X admet une espérance si et seulement si l’intégrale Z+∞

−∞

t f(t)dt converge . Si X admet une espérance alors on appelle espérance de X le réel :

X =E(X) = Z+∞

−∞

t f(t)dt Remarques

• Z+∞

−∞

t f(t)dtconverge si et seulement si Z+∞

−∞

t f(t)dtconverge absolument.

•SiXest une variable aléatoire réelle à densité et prenant ses valeurs dans l’intervalle[a,b]

(a,b)∈R²,a<b , alorsX possède une espérance.

4.10 Exemple de variable aléatoire à densité n’admettant pas d’espérance

Soit f définie par :

∀x∈R, f(x) = 1 π

1 1+x² Vérifier que f est une densité de probabilité.

SoitX une variable aléatoire de densité f. Montrer queX n’admet pas d’espérance.

4.11 Théorème de transfert

Théorème 39 Soit X une variable aléatoire à densité prenant ses valeurs dans un intervalle]a,b[deR (avec−∞¶a<b¶+∞). Soit f une densité de X etϕune fonction continue sur]a,b[sauf

éventuellement en un nombre fini de points.

Alors la variable aléatoireϕ(X)admet une espérance si et seulement si l’intégrale Z b

a

ϕ(t)f(t)dt converge absolument. De plus, en cas de convergence absolue, on a :

E(ϕ(X)) = Zb

a

ϕ(t)f(t)dt

4.12 Propriétés de l’espérance des variables aléatoires réelles à densité

(1) SoitX une variable aléatoire réelle possédant une densité et une espérance alors pour tout(a,b)∈R², aX+bpossède une espérance donnée par :

E(aX+b) =aE(X) +b.

(13)

(2) Positivité de l’espérance

SiX est une variable aléatoire à densité admettant une espérance et telle queX(Ω)⊂R⁺ alorsE(X)¾0.

(3)Croissance de l’espérance

SoitX etY deux variables aléatoires réelles à densité définies sur le même espace probabilisé(Ω,A,P) admettant chacune une espérance. On suppose queX¶Y presque sûrement. Alors :

E(X)¶ E(Y)

4.13 Moments d’ordre r où r ∈ N

^?

Definition 40 Soit r∈N^?. Soit X une variable aléatoire à densité dont f est l’une de ses densités.

On dit que X admet un moment d’ordrer si et seulement si l’intégrale Z+∞

−∞

t^rf(t)dt converge absolument (équivalent à la convergence !).

Si X admet un moment d’ordrer alors on appelle moment d’ordrer de X le réel :

m_r(X) =E(X^r) = Z+∞

−∞

t^rf(t)dt

4.14 Moments centrés d’ordre r où r ∈ N

^?

Definition 41 Soit r∈N^?. Soit X une variable aléatoire à densité dont f est l’une de ses densités.

On dit que X admet un moment centré d’ordrer si et seulement si l’intégrale Z+∞

−∞

(t−X)^rf(t)dt converge absolument (équivalent à la convergence !).

Si X admet un moment centré d’ordre r alors, on appelle moment centré d’ordrer le réel : µr(X) =m_r(X−X) =E

(X−X)^r

= Z+∞

−∞

t−X^r f(t)dt Propriétés

•Soitr∈N^?. Sim_r(X) existe alorsm_p(X)existe pour toutp∈[[1,r]].

•Soitr∈N^?. Alorsµr(X)existe⇐⇒m_r(X)existe.

4.15 Variance, écart-type

Definition 42 On appelle variance de la variable aléatoire réelle à densité X la quantitéµ2(X)si elle existe.

V(X) =E((X−E(X))²) Propriétés de la variance d’une variable aléatoire à densité

•X admet une variance si et seulement siX admet un moment d’ordre 2 et dans ce cas on a : V(X) =E(X²)−(E(X))² (formule de Huygens).

•SiX admet une variance alorsV(X)¾0.

•SiX admet une variance alors :∀(a,b)∈R², V(aX +b) =a²V(X).

Definition 43 Si X est une variable aléatoire à densité admettant une variance, on appelle écart-type de X le nombre σX=p

V(X). Propriété de l’ecart-type d’une variable aléatoire à densité

∀(a,b)∈R², σaX+b=|a|σX.

(14)

4.16 Variable centrée, réduite, centrée réduite

Definition 44 Une variable aléatoire est dite centrée si elle admet une espérance et si cette espérance est nulle.

Propriété

SoitX une variable aléatoire réelle possédant une espérance alorsX−X est une variable aléatoire réelle centrée.

Definition 45 Une variable aléatoire est dite réduite si elle admet une variance et si cette variance est égale à 1.

Definition 46 Une variable aléatoire est dite centrée réduite si elle admet une variance, si son espérance est nulle et si sa variance est égale à 1.

Propriété

SoitX une variable aléatoire possédant une variance non nulle. AlorsX^?= X−X σX

est une variable aléatoire réelle centrée réduite appelée variable aléatoire réelle centrée réduite associée àX.

5 Loi uniforme.

5.1 Définition.

Propriété

Pour tout couple(a,b)de réels tels quea<b, la fonction : 1

b−a11_[_a,b_]:x7→







0 six∈/[a,b] 1

b−a six∈[a,b] est une fonction de densité.

Definition 47 Soit(a,b)un couple de réels tel que a < b. On dit qu’une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur l’intervalle[a,b]si et seulement si une de ses densités est la fonction 1

b−a11_[_a,b_] et on note alors :

X ,→ U([a,b])

RemarqueLes fonctions 11_[a,b[, 11_]a,b]et 11_]a,b[sont aussi des densitésX ,→ U([a,b]).

5.2 Fonction de répartition .

Soit(a,b)un couple de réels tel quea<b. SoitX,→ U([a,b]). La fonction de répartition de la variable aléatoireX est donnée par :

∀x∈R, F_X(x) =







0 six<a x−a

b−a sia¶x¶b 1 six>b

5.3 Espérance et variance .

Théorème 48 Soit(a,b)un couple de réels tel que a<b. Soit X,→ U([a,b]). La variable aléatoire X admet une espérance et une variance. De plus :

E(X) = a+b

2 et V(X) =(b−a)² 12

(15)

Propriété

Soit(a,b)un couple de réels tel quea<b. Alors :

X ,→ U([0, 1]) ⇐⇒ (b−a)X+a,→ U([a,b]) Ce résultat est à la base de la simulation informatique deX,→ U([a,b])

6 Loi exponentielle.

6.1 Définition.

Propriété

Pour tout réelλ >0, la fonction :

x7→λe^−λx11_[0,+∞[(x) =

¨0 six<0 λe^−λ^x six¾0 est une fonction de densité.

Definition 49 Soitλun réel strictement positif. On dit qu’une variable aléatoire X suit la loi exponentielle de paramètreλ >0si et seulement si l’une de ses densités est la fonction x7→λe^−λ^x11_[0,+∞[(x), ce que l’on note :

X,→ E(λ)

6.2 Fonction de répartition.

Soitλun réel strictement positif etX,→ E(λ). La fonction de répartition de la variable aléatoireX est donnée par :

∀x∈R, F_X(x) =

1−e^−λ^x

11_[0,+∞[(x) =

¨0 six<0 1−e^−λx six¾0

6.3 Espérance et variance .

Théorème 50 Soitλun réel strictement positif et X,→ E(λ). La variable aléatoire X admet une espérance et une variance. De plus :

E(X) = 1

λ et V(X) = 1

λ²

Propriété

Soitλun réel strictement positif. Alors :

X ,→ E(1) ⇐⇒ 1

λX,→ E(λ) Propriété

SoitX ,→ U(]0, 1])alors−lnX,→ E(1)

Ces deux propriétés permettent de simuler la loi exponentielle de paramètreλ(λ >0).

(16)

6.4 Caractérisation par absence de mémoire.

Théorème 51 Soit X une variable aléatoire réelle. X suit une loi exponentielle si et seulement si :

•X est presque sûrement à valeurs dans]0,+∞[

et

• ∀(x,y)∈R⁺²P X>x+y=P([X>x])P(X >y)

Interprétation

SiX mesure la durée de vie d’une machine alors l’absence de mémoire (l’absence de vieillissement ici) signifie que sa probabilité de fonctionner encore x unités de temps sachant qu’elle a déjà fonctionné y unités de temps est la même que sa probabilité de fonctionnerx unités de temps dès après sa fabrication.

7 Étude de loi normale N ( 0, 1 ) .

Propriété

La fonctionϕ:x7−→ϕ(x) = 1 p2πexp

−x² 2

est une densité de probabilité.

Definition 52 On dit qu’une variable aléatoire X suit la loi normale de paramètres(0, 1)si et seulement si l’une de ses densités est la fonction x7→ 1

p2πexp

−x² 2

et on note : X ,→ N(0, 1)

Propriété ∀t∈R, ϕ⁰(t) =−tϕ(t)

Cette propriété sera utile lors d’intégrations par parties.

Fonction de répartition deX ,→ N(0, 1)

La fonction de répartition deX ,→ N(0, 1)est souvent notéeΦ:∀x∈R,Φ(x) =P(X¶x) = 1 p2π

Zx

−∞

e⁻^t

2 2dt.

Remarque

Il est illusoire de chercher à exprimerΦ(x)sans intégrale ... On utilise une table lorsque cela est nécessaire : Propriété deΦ

SoitX ,→ N(0, 1). Alors, pour tout réelx, on a : Φ(−x) =1−Φ(x)

(17)

Table de la loi normaleN(0, 1)

SoitX ,→ N(0, 1). La table donne les valeurs deΦ(x) =P(X¶x). Par exemple, pourx=1, 24 (intersection de la ligne 1,2 et de la colonne 0,04), on obtientΦ(x) =0, 8925.

∀x∈R Φ(x) =P(X¶x) = Z x

−∞

p1 2π e⁻^t

2

2d t et Φ(−x) =1−Φ(x).

t 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359 0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753 0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141 0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517 0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879 0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224 0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549 0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852 0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133 0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389 1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621 1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830 1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015 1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177 1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319 1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441 1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545 1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633 1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706 1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767 2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817 2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857 2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890 2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916 2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936 2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952 2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964 2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974 2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.9981 2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986 3.0 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990 3.1 0.9990 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0.9993 3.2 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.9995 3.3 0.9995 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9997 3.4 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9998 3.5 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 3.6 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 3.7 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 3.8 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 3.9 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

(18)

Théorème 53 Soit X ,→ N(0, 1)).

La variable aléatoire X admet une espérance et une variance. De plus : E(X) =0 et V(X) =1 .

On dit queX suit la loi normale centrée réduite.

8 Étude de la loi normale de paramètres ( m, σ

²

) .

Propriété

Pour tout réelmet tout réelσ >0, la fonction : x7−→ 1 σp

2πexp

−(x−m)² 2σ²

est la densité d’une variable aléatoire.

Definition 54 Soit m un réel etσun réel strictement positif. On dit qu’une variable aléatoire X suit la loi normale de paramètres(m,σ²)si et seulement si l’une de ses densités est la fonction

x7−→ 1 σp

2πexp

−(x−m)² 2σ²

et on note :

X,→ N(m,σ²)

8.1 Stabilité de la loi normale par transformation affine.

Théorème 55 Soit m∈R,σ∈]0,+∞[et X ,→ N(m,σ²). Soit(a,b)∈R²avec a6=0alors aX+b,→ N(am+b,a²σ²).

Corollaire

Soitm∈R,σ∈]0,+∞[alors :

X ,→ N(m,σ²) =⇒ X−m

σ ,→ N(0, 1)

8.2 Espérance et variance.

Théorème 56 Soit m∈R,σ∈]0,+∞[et X ,→ N(m,σ²). Alors X admet une espérance et une variance et : E(X) =m et V(X) =σ²

Notation

Soitm∈R,σ∈]0,+∞[etX ,→ N(m,σ²). Alors on note X^?= X−m

σ

X^?,→ N(0, 1).X^?est la variable aléatoire centrée réduite associée àX. À retenir

SiX suit une loi normale alorsaX+b(a6=0) suit aussi une loi normale. On trouve les paramètres de cette loi normale en calculantE(aX+b)etV(aX +b)

(19)

9 Lois γ .

9.1 Définition .

Propriété

Pour tout réelα >0, la fonction :

t7→







0 sit¶0

1

Γ(α)t^α−1e⁻^t sit>0 est une densité de probabilité.

Definition 57 Soitαun réel strictement positif.

On dit qu’une variable aléatoire X suit la loi gamma de paramètreαsi et seulement si l’une de ses densités est la fonction t7→







0 si t¶0

1

Γ(α)t^α−1e^−t si t>0 et on note alors : X,→γ(α)

Remarque

X,→γ(1) ⇐⇒ X ,→ E(1)

9.2 Espérance et variance .

Théorème 58 Soitαun réel strictement positif et X,→γ(α). La variable aléatoire X admet une espérance et une variance. De plus :

E(X) =α et V(X) =α

Exercice 3 Soitαun réel strictement positif et X ,→γ(α). Montrer que X admet des moments de tous ordres et que :

∀r∈N^?, m_r(X) = Yr−1

k=0

(α+k).