3.2 ESPÉRANCE ET VARIANCE

(1)

cours 12

3.2 ESPÉRANCE ET

VARIANCE

(2)

Au dernier cours, nous avons vu

✓

Variable aléatoire discrète

✓

Variable aléatoire continue

✓

Loi de probabilité

✓

Fonction de répartition

(3)

Aujourd’hui, nous allons voir

✓

L’espérance mathématiques

✓

La variance

✓

L’écart type

(4)

Étant donné une variable aléatoire, sa loi de probabilité nous permet d’avoir toute l’information nécessaire.

Or il est souvent pratique de décrire une variable aléatoire à l’aide de quelques caractéristiques.

On va se concentrer sur deux caractéristiques d’une variable aléatoire.

Sa tendance centrale.

Sa mesure de dispersion.

(5)

Tendance centrale

Il existe plusieurs façons d’avoir une mesure du centre de la fonction de probabilité d’une variable aléatoire.

• Le mode

• La médiane

• L’espérance

Le mode et la médiane ne sont pas sans intérêts, mais nous les verrons plus tard cette session. Nous allons surtout nous concentrer sur

l’espérance.

(6)

Définition

L’espérance d’une variable aléatoire discrète estX E(X) =

Xn

i=1

x_if (x_i) = µ

on parle parfois de la valeur moyenne de la variable aléatoire.

(7)

Exemple

On lance trois pièces de monnaie et on considère le nombre de piles obtenues.

X : le nombre de piles obtenues

= 1 f (3) 8

= 3 f (2) 8

= 3 f (1) 8

= 1 f (0) 8

E(X) =

X3

k=0

kf (k) = 0f (0) + 1f (1) + 2f (2) + 3f (3)

= 0 1

8 + 1 3

8 + 2 3

8 + 3 1 8

= 3 + 6 + 3

8 = 12

8 = 3

2 = 1, 5

(8)

Exemple

On lance trois pièces de monnaie et on considère le nombre de piles obtenues.

X : le nombre de piles obtenues

= 3

8 = 1

= 3 8

= 1 8

8 f (1) f (2) f (3) f (0)

E(X) =

X3

k=0

kf (k) = 1, 5

0 1 2 3

E(X)

1,5

(9)

Exemple

Dans une urne il y a 6 boules numérotées de 1 à 6. On pige 2 boules sans remise et on s’intéresse à la plus

grande des deux.

X : Le plus grand nombre des deux boules pigées.

{2, 3, 4, 5, 6}

L’ensemble de réalisation est _|S| =

✓6 2

◆

f (2) =

1 1 6 2

f (3) =

2 1 6 2

f (4) =

3 1 6 2

f (5) =

4 1 6 2

f (6) =

5 1 6 2

= 1

15 = 2

15 = 3

15

= 4

15 = 5

15

(10)

Exemple

grande des deux.

E(X) =

X6

k=2

kf (k) =

X6

k=2

k k 1

15 = 1 15

X6

k=2

k(k 1)

= 1

15 (2 · 1 + 3 · 2 + 4 · 3 + 5 · 4 + 6 · 5)

= 70

15 = 14

3 ⇡ 4, 67

(11)

Exemple

grande des deux.

E(X) =

X6

k=2

kf (k) ⇡ 4, 67

0 1 2 3 4 5 6

E(X)

4,67

(12)

Le concept d’espérance est intimement lié au concept de moyenne pondérée.

{60, 75, 80, 62, 67, 84, 79}

1

7 (60 + 75 + 80 + 62 + 67 + 84 + 79) = 507 7

⇡ 72, 43 Supposons que j’aie 7 résultats d’examens

leurs moyenne est

(13)

Une moyenne pondérée donne un poids aux différentes valeurs

{87, 89, 76, 62}

{10%, 20%, 30%, 40%}

Si un cours comporte 4 évaluations avec les pondérations suivantes

et qu’un étudiant obtient les notes suivantes

87 1

10 + 89 2

10 + 76 3

10 + 62 4

10 = 74, 1

= 78, 5 87 1

4 + 89 1

4 + 76 1

4 + 62 1 4 qui est différent de la moyenne

(14)

En d’autres termes l’espérance mathématique est une moyenne pondérée en utilisant la probabilité comme poids.

L’appellation espérance vient de l’étude des gains possible dans un jeu de hasard.

(15)

Exemple

On mise 10$ sur le numéro 8.

Quelle est notre espérance de gain?

Si la boule tombe sur le numéro choisi, on gagne 35 fois sa mise sinon on perd sa mise. Il y a 37 cases

numérotées de 0 à 36.

X : Gain

P (X = 10$) = 36 37

Il y a deux réalisations possibles _{ ^10$, ^350$_} P (X = 350$) = 1

37

E(X) = 10$f ( 10$) + 350$f (350$)

= 10$ 36

37 + 350$ 1

37 ⇡ 0, 27$

(16)

Exemple

Jouer un cheval veut dire choisir 2 numéros et donne 17 fois la mise. Quelle est l’espérance de gain?

P (X = 10$) = 35 37

⇡ 0, 27$

P (X = 170$) = 2 37

E(X) = 10$f ( 10$) + 170$f (170$)

= 10$ 35

37 + 170$ 2 37

(17)

Exemple

Que devient l’espérance de gain si on enlève la case verte (0)?

= 0

Dans les faits, le gain de chaque mise est calculé pour que l’espérance en enlevant la case verte soit nulle.

= 350$ 1

36 + 350$ 1 36 E(X) = 10$ 35

36 + 350$ 1 36

(18)

Théorème

Preuve:

Soit une fonction inversible et continue.^g(x) Y = g(X) E(Y ) =

Xn

i=1

g(x_i)f (x_i)

E(Y ) =

Xn

i=1

y_if (y_i)

f (y_i) = P (Y = y_i) = P (g(X) = g(x_i))

= P (g ¹(g(X)) = g ¹(g(x_i)))

= P (X = x_i) = f (x_i)

=

Xn

i=1

y_if (x_i)

=

Xn

i=1

g(x_i)f (x_i)

(19)

Exemple

On lance deux pièces de monnaie et on perd 1$ si les deux sont pile, on gagne 1$ si les deux sont face et il ne ce passe rien si les deux sont différents.

P (X = 1$) = 1

4 = P (X = 1$) P (X = 0$) = 1 2 E(X) = 1$ 1

4 + 0$ 1

2 + 1$ 1

4 = 0

Y = X² P (Y = 1$²) = 1

2 P (Y = 0$²) = 1 2 E(Y ) = 1

2 0 + 1

2 1 = 1 2 E(Y ) = ( 1$)² 1

4 + (0$)² 1

2 + (1$)² 1

4 = 1 2 Si on est plutôt intéressé par l’argent échangé:

(20)

Théorème

Preuve:

Si Y = aX + b

E(Y ) = aE(X) + b

E(Y ) =

Xn

i=1

y_if (y_i) =

Xn

i=1

(ax_i + b)f (x_i)

=

Xn

i=1

ax_if (x_i) + bf (x_i)

= a

Xn

i=1

x_if (x_i) + b

Xn

i=1

f (x_i)

= aE(X) + b

(21)

Théorème

Preuve:

_Y ₌ _X _µ

E(Y ) = E(X µ) = E(X) µ

= E(X) E(X)

= 0

Définition

On dit d’une variable aléatoire qu’elle est centrée si E(X) = 0

X

E(X µ) = 0 où µ = E(X)

(22)

Faites les exercices suivants

# 3.8 et 3.9

(23)

Exemple

Regardons les trois fonctions de probabilités suivantes.

x_i f₁(x_i)

1

1 5

2 3

4 5

1 5 1 5 1 5 1 5

f₂(x_i) x_i

1 10

2 5 1 5

1 10

1 5

1

2 3

4 5

f₃(x_i) x_i

1 2

0 0 0

1 2

1

2 3

4 5

= 1 5

X5

k=1

k = 1 5

✓ 5 · 6 2

◆ E(X₁) = 3

(24)

Exemple

x_i f₁(x_i)

1

1 5

2 3

4 5

1 5 1 5 1 5 1 5

f₂(x_i) x_i

1 10

2 5 1 5

1 10

1 5

1

2 3

4 5

f₃(x_i) x_i

1 2

0 0 0

1 2

1

2 3

4 5 E(X₁) = 3

E(X₂) = 1

10 + 2

5 + 6

5 + 4

5 + 5

10 = 2

5 + 6

5 + 4

5 + 6 10

= 2 + 6 + 4 + 3

5 = 15

5 = 3

(25)

Exemple

x_i f₁(x_i)

1

1 5

2 3

4 5

1 5 1 5 1 5 1 5

f₂(x_i) x_i

1 10

2 5 1 5

1 10

1 5

1

2 3

4 5

f₃(x_i) x_i

1 2

0 0 0

1 2

1

2 3

4 5 E(X₁) = 3

E(X₂) = 3

E(X₃) = 1

2 + 5

2 = 6

2 = 3

(26)

0 1 2 3 4 5

Exemple

x_i f₁(x_i)

1

1 5

2 3

4 5

1 5 1 5 1 5 1 5

f₂(x_i) x_i

1 10

2 5 1 5

1 10

1 5

1

2 3

4 5

f₃(x_i) x_i

1 2

0 0 0

1 2

1

2 3

4 5 E(X₁) = 3

E(X₂) = 3 E(X₃) = 3

(27)

Mesure de dispersion

• L’écart moyen

• La variance

• L’écart type

Bien que l’espérance donne d’une certaine manière le centre de la loi de probabilité, il est parfois souhaitable d’avoir une façon de mesurer

la dispersion.

(28)

Définition

L’écart moyen d’une variable aléatoire est Xn

i=1

|x_i E(X)|f (x_i)

0 1 2 3 4 5

E(X) = 3

(29)

Exemple

x_i f₁(x_i) x_i f₂(x_i) x_i f₃(x_i)

1

1 5

2 3

4 5

1 5 1 5 1 5 1 5

1 10

2 5 1 5

1 10

1 5

1

2 3

4 5

1 2

0 0 0

1 2

1

2 3

4

5

X5

k=1

|x_k E(X₁)|f₁(x_k) = 2 1

5 + 1 1

5 + 0 1

5 + 1 1

5 + 2 1 5

= 2 1

10 + 1 1

5 + 0 2

5 + 1 1

5 + 2 1 10

= 2 1

2 + 1 · 0 + 0 · 0 + 1 · 0 + 2 1 2

= 6 5

= 4 5

= 2

X5

k=1

|x_k E(X₂)|f₂(x_k) X5

k=1

|x_k E(X₃)|f₃(x_k)

(30)

Définition

Var(X) =

Xn

i=1

(x_i E(X))²f (x_i)

Définition

L’écart type est la racine carrée de la variance

= p

Var(X) Var(X) = ²

L’écart moyen est une bonne mesure, mais la valeur absolue complique souvent les calculs.

C’est pour ça qu’on a plutôt tendance à utiliser:

La variance d’une variable aléatoire est

E(X) = µ

Var(X) = E((X µ)²)

(31)

Exemple

0 1 2 3 4 5

= 2² 1

10 + 1² 1

5 + 0² 2

5 + 1² 1

5 + 2² 1 10

= 2² 1

2 + 1² · 0 + 0² · 0 + 1² · 0 + 2² 1 2 Var(X_i) =

X5

k=1

(x_k E(X_i))²f_i(x_k)

Var(X₁)

Var(X₂)

Var(X₃)

= 2

= 6 5

= 4

= 2² 1

5 + 1² 1

5 + 0² 1

5 + 1² 1

5 + 2² 1 5

(32)

Exemple

0 1 2 3 4 5

Var(X_i) =

X5

k=1

(x_k E(X_i))²f_i(x_k) Var(X₁)

Var(X₂)

Var(X₃)

= 2

= 6 5

= 4

1 = p 2

2 =

r 6 5

3 = 2

⇡ 1, 095

⇡ 1, 414

(33)

Théorème Preuve:

Var(X) = E(X²) (E(X))² Var(X) =

Xn

i=1

(x_i E(X))²f (x_i)

=

Xn

i=1

(x²_i 2x_iE(X) + E(X)²)f (x_i)

=

Xn

i=1

x²_i f (x_i) 2

Xn

i=1

x_iE(X)f (x_i) +

Xn

i=1

E(X)²f (x_i)

=

Xn

i=1

x²_i f (x_i) 2E(X)

Xn

i=1

x_if (x_i) + E(X)²

Xn

i=1

f (x_i)

= E(X²) 2E(X)E(X) + E(X)² = E(X²) E(X)²

(34)

Théorème

Preuve:

Var(Y ) = a²Var(X) Y = aX + b

On a déjà vu que _E_(Y _{) =} _aE_(X_{) +} _b Var(Y ) = E((Y µ_Y )²)

= µ_Y

= E((aX + b aµ_X b)²)

= E((aX aµ_X )²)

= E(a²(X µ_X )²)

= a²E((X µ_X )²) = a²Var(X)

= aµ_X + b

(35)

Définition

On dit qu’une variable aléatoire est réduite si Var(X) = 1

Définition

On dit qu’une variable aléatoire est centrée réduite si

E(X) = µ = 0 et Var(X) = ² = 1

(36)

Théorème

Preuve:

Étant donné une variable aléatoire , alors la variable

aléatoire ^X

Z = X µ

est centrée réduite.

E(Z) = E

✓ X µ ◆

= E

✓ X µ ◆

= 1

E(X) µ

= µ µ

= 0 Var(Z) = Var

✓ X µ ◆

= Var

✓ X µ ◆

= 1

2 Var(X)

=

2

2 = 1

(37)

Faites les exercices suivants

# 3.10 à 3.13

(38)

Aujourd’hui, nous avons vu

✓

L’espérance mathématiques

✓

La variance

✓

L’écart type

(39)

Devoir:

Section 3.2