On a
𝑷𝑴
𝑩𝑪 = 𝟗, 𝟔
𝟔 = 𝟏, 𝟔 𝑷𝑵 𝑨𝑪 =𝟖
𝟓= 𝟏, 𝟔 𝑴𝑵
𝑨𝑩 =𝟔, 𝟒
𝟒 = 𝟏, 𝟔
Les longueurs des côtés des triangles 𝑨𝑩𝑪 et 𝑴𝑵𝑷 sont proportionnelles, donc les triangles 𝑨𝑩𝑪 et 𝑴𝑵𝑷 sont semblables.
Dans le triangle 𝑨𝑩𝑪, la somme des angles est égale à 180°. Donc 𝑩𝑪𝑨̂ = 𝟏𝟖𝟎° − 𝟗𝟎° − 𝟕𝟎° = 𝟐𝟎°.
Les triangles 𝑨𝑩𝑪 et 𝑫𝑬𝑭 ont deux angles de même mesure, donc ces triangles sont semblables.
a. Vrai. Des triangles équilatéraux ont tous leurs angles égaux à 60°.
b. Vrai. Un triangle isocèle à un angle égal à 90° et les deux autres sont forcément égaux à 45°.
c. Faux. Des triangles isocèles peuvent avoir des angles différents.
• Les droites (𝐴𝐵) et (𝐴′𝐵′) sont deux droites parallèles coupées par la sécante (𝐴𝐴′) donc elles forment des angles 𝑂𝐴𝐵̂ et 𝑂𝐴′𝐵′̂ alternes internes de même mesure.
• Les angles 𝐴𝑂𝐵̂ et 𝐴′𝑂𝐵′̂ sont opposés par le sommet donc égaux.
Or Si deux triangles ont deux angles de même mesure, alors ces deux triangles sont semblables.
Donc 𝑶𝑨𝑩 et 𝑶𝑨′𝑩′ sont semblables.
A
A’
B
O
×
B’
(d)
(d’)
Si deux triangles sont semblables alors les longueurs de leurs côtés sont proportionnelles.
6 9=2
3 6 13,5= 4
9 8 9 8
13,5=16
27 9 13,5=2
3 Donc on a :
6 9= 9
13,5=8
𝑥 → 8 𝑥= 2
3 → 𝑥 = 12
• Dans le triangle 𝑨𝑩𝑪 on a :
𝑨𝑪′ 𝑨𝑩 =𝟏
𝟐 𝒆𝒕 𝑨𝑩′ 𝑨𝑪 = 𝟏
𝟐 Comme 𝑨𝑪
′ 𝑨𝑩 =𝑨𝑩′
𝑨𝑪 , et les points A, C’, B et A, B’, C sont alignés dans le même ordre, d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (𝑩′𝑪′) et (𝑩𝑪) sont parallèles.
De même on a (𝑨′𝑪′)//(𝑨𝑪) et (𝑨′𝑩′)//(𝑨𝑩).
• Dans le triangle 𝑨𝑩𝑪 on a : (𝑩′𝑪′)//(𝑩𝑪) ; 𝑩′∈ (𝑨𝑪) et 𝑪′∈ (𝑨𝑩) D’après le théorème de Thalès, on a
𝑫𝒐𝒏𝒄 𝑩′𝑪′
𝑩𝑪 = 𝑨′𝑩′
𝑨𝑩 = 𝑨′𝑪′ 𝑨𝑪 =𝟏
𝟐
• Or Si les longueurs des côtés de deux triangles sont proportionnelles alors ces triangles sont semblables.
Donc 𝑨𝑩𝑪 et 𝑨′𝑩′𝑪′ sont semblables.
A
A’
B’ C’
B C
A faire
Il faut que les rapports de longueurs soient égaux…
Prendre par exemple : 𝑩𝑪
𝑬𝑭 = 𝒌 𝒑𝒖𝒊𝒔 𝑨𝑩 = 𝒌 × 𝑮𝑭 𝒆𝒕 𝑨𝑪 = 𝒌 × 𝑬𝑮
Ou alors mesurer deux angles du triangle 𝑨𝑩𝑪 et construire un triangle avec ces deux angles utilisant 𝑬 et 𝑭.
Si deux triangles ont deux angles de même mesure, alors ces deux triangles sont semblables.
Or
• 𝑩𝑨𝑴̂ = 𝑨𝑵𝑫̂ puisque ce sont deux angles alternes internes avec (𝑨𝑩)//(𝑵𝑫)
• 𝑨𝑩𝑴̂ = 𝑵𝑫𝑨̂ puisque ce sont deux angles opposés du parallélogramme 𝑨𝑩𝑪𝑫.
• Dans le triangle 𝑹𝑺𝑻 rectangle en 𝑹 d’après le théorème de Pythagore, on a 𝑺𝑻𝟐 = 𝑹𝑺𝟐+ 𝑹𝑻𝟐= 𝟑𝟔 + 𝟔𝟒 = 𝟏𝟎𝟎 → 𝑺𝑻 = 𝟏𝟎
• Si deux triangles ont deux angles de même mesure, alors ces deux triangles sont semblables.
Donc ici c’est le cas : RST et MLN sont semblables.
• Si deux triangles sont semblables alors les longueurs de leurs côtés sont proportionnelles.
On a donc 𝑴𝑵
𝑹𝑻 =𝑴𝑳 𝑹𝑺 = 𝑳𝑵
𝑺𝑻 → 𝟏𝟗, 𝟐 𝟖 =𝑴𝑳
𝟔 =𝑳𝑵
𝟏𝟎 → 𝑳𝑵 =𝟏𝟗, 𝟐 × 𝟏𝟎
𝟖 → 𝑳𝑵 = 𝟐𝟒 𝒄𝒎 S
R T
35°
6 cm
8 cm M
35°
L
N 19,2 cm
? cm
