Seconde 1 Chapitre 15 : feuilles annexes. Page n ° 1 2007 2008
1 Triangles isométriques.
Premier exemple de deux triangles isométriques Soit ABC un triangle équilatéral.
Soit ( AH ) la hauteur issue de A.
Alors on a AB = AC BH = CH AH = AH
Donc les triangles ABH et ACH sont deux triangles isométriques.
Théorème 1 :
Si deux triangles sont isométriques, alors leurs angles sont égaux deux à deux.
La réciproque n’est pas vraie.
Deux triangles isocèles et rectangles ont leurs angles égaux deux à deux mais n'ont pas forcément leurs côtés de la même longueur.
2 Triangles ayant un angle égal compris entre deux côtés égaux deux à deux.
Théorème 2
ABC et A’B’C’ sont deux triangles A’B’ = AB
A’C’ = AC
∧
a=
∧
' a
D'après théorème : si deux triangles ont un angle égal compris entre deux côtés égaux deux à deux, alors ces deux triangles sont isométriques.
Donc les triangles ABC et A’B’C’ sont isométriques.
Seconde 1 Chapitre 15 : feuilles annexes. Page n ° 2 2007 2008
3 Triangles ayant un côté égal adjacent à deux angles égaux deux à deux.
Théorème 3
ABC et A’B’C’ sont deux triangles
∧
' b A’B’ = AB
∧
a=
∧
' a
∧
b=
∧
'
b ∧b
D'après la propriété :
si deux triangles ont un côté égal adjacent à deux angles égaux deux à deux, alors ces deux triangles sont isométriques.
Donc les triangles ABC et A’B’C’ sont isométriques.
4 Triangles semblables.
Deux triangles sont semblables si leurs angles sont égaux deux à deux.
∧c c∧'
∧
b
∧
' b Théorème 4
Si deux triangles ont deux angles respectivement égaux, alors, ils sont semblables.
Démonstration :
ABC et A'B'C' sont deux triangles tels que â = â' et Çb = Çb ' Or la somme des trois mesures d'un triangle est égale à 180 °.
Donc Çc = 180 ° − Ça − Çb
Et Çc' = 180 ° − â' − Çb ' = 180 ° − â − Çb = Çc
Donc les triangles ABC et A'B'C' ont leurs angles égaux deux à deux.
Donc ABC et A'B'C' sont deux triangles semblables.
Seconde 1 Chapitre 15 : feuilles annexes. Page n ° 3 2007 2008
5 Triangles ayant des côtés respectivement proportionnels.
Théorème 6
ABC et A’B’C’ sont deux triangles tels que
CA ' A ' C BC
' C ' B AB
' B '
A = =
D'après le théorème
si deux triangles ont leurs côtés respectivement proportionnels, alors, ces triangles sont semblables.
Donc ABC et A'B'C' sont deux triangles semblables.
6 Triangles ayant un angle égal et deux côtés proportionnels.
Théorème 7
ABC et A’B’C’ sont deux triangles
∧
a=
∧
' a
AC ' C ' A AB
' B '
A =
D'après le théorème
si deux triangles ont un angle égal compris entre deux côtés respectivement proportionnels, alors ils sont semblables.
Donc ABC et A'B'C' sont deux triangles semblables.
