1 Calculer l’espérance, la variance et l’écart type d’une variable aléatoire

© Hachette Livre 2019 – Guide pédagogique, mathématiques 1re Spécialité, collection Barbazo

Travaux pratiques

TP

1 Calculer l’espérance, la variance et l’écart type d’une variable aléatoire

1 La probabilité de chaque issue étant proportionnelle à la valeur de cette issue, si l’on note a la probabilité P G( =1)^{, on a} P G( =2)=2a, P G( =3)=3a,

 P G( =4)=4a … P G( =10)=10a.

De plus, la somme de toutes ces probabilités vaut 1.

Donc a+2a+ … +1 0a=1 ⇔(1 +2 + …1 0)^a=1 ⇔1 0 ×1 1

2 a=1

⇔a= 1 5 5 .

Ainsi, on a la loi de probabilité suivante pour G.

g_i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

P G

(

)

2 a. Cette instruction génère une liste X contenant les entiers de 1 à 1 0 .

b. P= p

5 5 for p in range 1 ,1 1( )

⎡⎣⎢ ⎤

c. ⎦⎥

d.

3 On obtient les résultats suivants.

TP

2 Simuler une variable aléatoire

1

2

3

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5

On peut obtenir par exemple :

On remarque que quand le nombre d’expériences est petit, l’étendue reste assez variable alors que quand le nombre d’ex- périences est grand, il semble constant et égal à 10. Cela s’explique car lorsque le nombre d’expériences est grand, il y a de grandes chances que les valeurs extrêmes (−5 et 5) soient atteintes, ce qui donne exactement une étendue de 1 0 , quelles que soient les autres valeurs atteintes.

TP

3 Faire la distinction entre un modèle et la réalité

1 a. On note, pour i∈{1 ; 2 ; 3 ; 4}^{, P}_i l’évènement « On obtient un “ Pile ” au i-ème tirage ».

P₄ P₄ 12 12

P₃ P₃ 12 12

P₂ P₂ 12

12

P₁ P₁

12

12

P₄ P₄ 12 12

P₄ P₄ 12 12

P₃ P₃ 12 12

P₄ P₄ 12 12

P₄ P₄ 12 12

P₃ P₃ 12 12

P P₂ 12

12

P₄ P₄ 12 12

P₄ P₄ 12 12 P₃ 12

Tirage 3

Tirage 4

Tirage 1

Tirage 2

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g_i −1 0 1 2 −2

P G

(

)

b. E G( )=−1× 1

2 +0 × 1

4 +1 ×1

8 +2 × 1

1 6 −2 × 1

1 6 =−3

8 =−0 ,3 7 5

2 a. La première condition rd.randint(0,1)==0 permet de tester si le « Pile » est apparu dans la simulation de ce tirage. La seconde condition G==–2 teste si c’est la première fois que ce « Pile » apparaît (si G contient la valeur −2, c’est bien la première fois, sinon, sa valeur aurait été modifiée).

b.

c. On peut obtenir par exemple :

Les valeurs trouvées sont relativement proches de l’espérance d’autant plus que n est grand, ce qui est normal puisque l’es- pérance représente la moyenne des gains sur un grand nombre de parties.

3 a. La fonction evolmoy permet de tracer un graphique contenant :

• en bleu, un nuage de points donnant la moyenne des gains en fonction du nombre cumulé de parties jouées ;

• en rouge, la représentation de la fonction constante égale à l’espérance.

b. Pour 1 000 tirages, on peut par exemple obtenir :

200

0 400 600 800 1 000

–0,6 –0,4 –0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

On observe que plus le nombre d’expériences est grand, moins la moyenne fluctue et plus elle est proche de la valeur de l’espérance.

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4 Observer une fluctuation relative

1 On note, pour i [ 1{ ; 2}^{, F}_i l’évènement « On obtient une fille à la i-ème naissance ».

Naissance

1 Naissance

2

F₂

F₁

F₂ F₁

100205

105205 100205

105205

F₂ F₂ 100205

105205

f_i 0 1 2

P F

(

)

E F( )=0 × 4 4 1

1 6 8 1 +1 × 8 4 0

1 6 8 1 +2 × 4 0 0 1 6 8 1 = 4 0

4 1 ≈0 ,9 7 6 σ( )F = 441

1 681× 0− 40

(

)

( )

(

)

σ( )F = 8 4 0

1 6 8 1 ≈0 ,7 0 7 2 a.

b.

c. La fonction ecart sert à indiquer si l’écart entre la moyenne d’un échantillon de taille n (moyenne) et la valeur de l’espérance µ est inférieur à 2σ

n.

d. En ligne 2 7 , lorsque l’écart entre la moyenne de l’échantillon simulé de taille n et la valeur de l’espérance est inférieur à 2σ n, on ajoute 1 à la variable somme. On compte ainsi le nombre d’échantillons simulés pour lesquels cet écart est inférieur à 2σ

n.

On peut par exemple obtenir cet affichage :

On peut donc supposer que, quand le nombre de simulations est grand (ici  1 000) dans environ 94 % des cas, l’écart entre 2σ

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5 Fréquence d’apparition des lettres d’un texte donné

1 a. a("lesmathematiquessontsympathiques") renvoie 3 .

b. Cette fonction renvoie le nombre de "a" dans la chaîne de caractères en argument.

2 a.

b.

c. Après avoir testé plusieurs textes avec cette fonction, il semble que ce soit le "e" qui soit la lettre la plus fréquente dans un texte en français.

3 a. En utilisant cette fonction sur le texte donné, on obtient :

Dans ce texte, c’est donc le lettre "p" qui semble la plus fréquente. Comme la lettre "e" est la 5^e lettre de l’alphabet et le lettre

"p" la 16^e lettre, on conjecture un décalage de 11 rangs pour ce codage.

b.

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c. On obtient, en utilisant cette fonction sur le texte donné :

Il s’agit d’un extrait de la fable Le Corbeau et le Renard de Jean de la Fontaine.

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6 Bandit manchot

1 Si l’on imagine un arbre avec les résultats des trois rouleaux, on obtient neuf résultats qui comportent trois fois le même chiffre parmi 9×10×10=900 résultats possibles. La probabilité d’être gagnant vaut donc 9

900= 1 100. On obtient donc la loi de probabilité suivante.

x_i 69 −1

P X

(

)

µ =E X( )=6 9 × 1

1 0 0 −1× 9 9

1 0 0 =− 3 0 1 0 0 =−0 ,3 σ=σ( )X = 1

1 0 0 (6 9 +0 ,3)² + 9 9

1 0 0 (−1+0 ,3)² = 4 8 ,5 1 ≈6 ,9 6 2 ALEA() renvoie un nombre aléatoire entre 0  et 1 .

Ainsi, l’instruction =SI(ALEA(),1/100;69;-1) renvoie 69 avec une probabilité de 1

100 et −1 sinon (donc avec une probabilité de 99

( )

3 a. On obtient un tableau de ce type.

b. On a pu entrer =SI(ABS($B$503-B502),=2*$B$504/RACINE(500);1;0) . c. Feuille de calcul (voir fichier numérique).

d. On peut observer que la proportion des cas où l’écart entre la moyenne d’un échantillon et l’espérance de la variable est inférieur ou égal à 2σ

500 se situe entre 90 % et 1 0 0 %. C’est-à-dire que c’est presque toujours le cas.

TP

7 Chuck-a-luck

1 a.

g_i 3 2 1 −1

P G

(

)