TD 9 : Compléments sur les variables aléatoires réelles

TD 9 : Compléments sur les variables aléatoires réelles

Exercice 1 : D’après ECRICOME 2008

Pour ce jeu, le participant lance trois fléchettes dans une cible circulaire de centre O et de rayon 1.

Pour 1 3, on note la variable aléatoire égale à la distance du point d’impact au centre O de la i^ème fléchette. Ces trois variables , , de même loi, indépendantes, sont des variables à densité dont une densité est définie par :

2 si ∈ 0; 10 sinon

Le joueur gagne si la fléchette la plus proche du centre O se trouve à une distance inférieure à de ce centre. Enfin, on note la variable aléatoire représentant la plus petite des trois distances , , . 1. Vérifier que est une densité de probabilité et déterminer la fonction de répartition de . 2. Déterminer l’espérance de .

3. Exprimer l’événement à l’aide des événements , , pour tout réel . 4. Déterminer la fonction de répartition _! de et montrer que est une variable aléatoire à densité et en donner une densité _!.

5. Quelle est la probabilité de l’événement " : « Le joueur gagne la partie »

Exercice 2 : D’après EDHEC 2010

On considère la fonction définie sur # par : $ 1

2 si %1 ou ' 1 0 sinon

1. (a) Montrer que est une fonction paire.

(b) Montrer que peut être considérée comme une densité de probabilité.

Dans la suite, on considère une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé Ω, ), * admettant comme densité. On note ₊ la fonction de répartition de .

2. La variable aléatoire admet-elle une espérance ?

3. On pose , ln|| et on admet que , est une variable aléatoire, elle aussi définie sur l’espace Ω, ), *. On note _/ sa fonction de répartition.

(a) Montrer que, pour tout réel x, on a : _{/ +}0¹ % ₊%0¹.

(b) Montrer, sans expliciter la fonction _/, que , est une variable aléatoire à densité, puis donner une densité de , et vérifier que , suit une loi exponentielle dont on donnera le paramètre.

(c) Montrer que si est positif, alors 1 % 0²¹∈ 0; 1 et montrer que, si est strictement négatif, alors 1 % 0²¹ est strictement négatif.

(d) On considère une variable 3 suivant la loi uniforme sur 0; 1. Déterminer la fonction de répartition de la variable aléatoire 4 % ln1 % 3 et reconnaître la loi de 4.

(e) Écrire un programme, en n’utilisant pas la fonction grand mais seulement la fonction rand, qui simule les valeurs prises par la variable aléatoire ,.

Exercice 3 : D’après EDHEC 2005

Dans cet exercice, 5 désigne un réel strictement positif.

1. On considère la fonction définie sur # par :

6 51 % ⁷² si ∈ 0; 1 0 sinon

(a) Pour tout ∈ 0; 1, calculer 8 9 _:¹ .

(b) En déduire que 8 9 _: est une intégrale convergente et donner sa valeur.

(c) Montrer que peut être considérée comme une densité de probabilité.

On considère maintenant une variable aléatoire admettant comme densité de probabilité et on note sa fonction de répartition.

2. Expliciter pour tout réel .

On se propose de déterminer l’espérance ; et la variance < de la variable aléatoire . Pour ce faire, on pose , % ln1 % et on admet que , est une variable aléatoire à densité. On note alors " sa fonction de répartition.

3. (a) Pour tout réel positif, exprimer " en fonction de . (b) En déduire que , suit la loi exponentielle de paramètre 5. 4. (a) Pour tout réel = 0, donner la valeur de 8 0_:^{?@ 2>1}9.

(b) En déduire que la variable aléatoire 0^2/ possède une espérance et donner sa valeur en fonction de 5.

(c) Exprimer en fonction de ,, puis en déduire que possède une espérance dont on donnera l’expression en fonction de 5.

(d) Montrer que la variable aléatoire 0^{2 /} possède une espérance et que ;0^{2 /} _7? ⁷ . En déduire la variance de 0^2/ puis la variance de .

Exercice 4 : D’après EDHEC 2008 1. Montrer que l’intégrale K 1

1 L 9

?@

: est convergente et donner sa valeur.

2. On considère la fonction définie par : ∀ ∈ #, 1 21 L ||

(a) Montrer que est paire.

(b) Montrer que peut être considérée comme une fonction densité de probabilité.

Dans la suite, on considère une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé Ω, ), * admettant comme densité. On note la fonction de répartition de .

3. On pose , ln1 L || et on admet que , est une variable aléatoire à densité, elle aussi définie sur l’espace probabilisé Ω, ), *.

(a) Déterminer ,Ω.

(b) Exprimer la fonction de répartition " de , à l’aide de .

(c) En déduire que , admet pour densité la fonction V définie par : V 20¹0¹% 1 si ' 0

0 sinon

(d) Montrer enfin que , suit une loi exponentielle dont on déterminera le paramètre.

Exercice 5 : D’après EDHEC 2009

Dans tout l’exercice = désigne un réel strictement positif.

1. On considère la fonction h définie sur # par :

W 6 = 0^2>1 si ' 0 0 sinon

(a) En se référant éventuellement à une loi exponentielle, montrer la convergence de l’intégrale 8 W9_:^?@ puis donner sa valeur.

(b) Montrer que W peut être considérée comme la densité d’une variable aléatoire .

(c) Montrer la convergence de l’intégrale 8 W9_:^?@ puis donner sa valeur. En déduire que possède une espérance et la déterminer.

2. Dans cette question, on considère une variable aléatoire , de densité , nulle sur %∞; 0, continue sur 0; L∞ et strictement positive sur 0; L∞. On note alors la fonction de répartition de ,.

Justifier que, pour tout réel , on a : 1 % 0. On définit alors la fonction V par :

V % ln1 % si ' 00 sinon 3. (a) Montrer que V est positive sur #.

(b) Montrer que V est continue sur %∞; 0 et sur 0; L∞.

(c) En remarquant que, si l’on pose Y^Z %, on peut choisir Y 1 % , montrer grâce à une intégration par parties que 8 V9_:^?@ est une intégrale convergente et que 8 V9_:^?@ 1. (d) Etablir que V peut être considérée comme la densité d’une variable aléatoire 4.

(e) Étude d’un cas particulier :

Vérifier que la variable aléatoire , suivant la loi exponentielle de paramètre = (avec = 0) vérifie les conditions imposées dans la deuxième question. Montrer alors que 4 suit la même loi que .

Exercice 6 : D’après ECRICOME 2006

Pour tout entier naturel [, on définit la fonction _\ de variable par : _\ ^\exp ^%

2 _ 1. Justifier que _\ est négligeable devant 1

au voisinage de L ∞.

2. Prouver la convergence de l^Zintégrale K ^?@ _\9

: .

3. On pose c_\ K ^?@ _\9

: .

(a) A l’aide d’une intégration par parties portant sur des intégrales définies sur le segment 0; d avec d ' 0, prouver que pour tout entier naturel [ :

c_\? [ L 1c_\

(b) En utilisant la loi normale centrée réduite, justifier que c_: e^f. (c) Donner la valeur de c.

(d) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel [ : c _\ eg

22[!

2^\[! et c ^\? 2^\[!

4. Soit la fonction définie pour tout réel par :

6 si ' 0 0 sinon (a) Démontrer que est une densité de probabilité.

(b) Soit une variable aléatoire réelle qui admet pour densité de probabilité.

i. Justifier que admet une espérance ; et préciser sa valeur.

ii. Justifier que admet une variance < et préciser sa valeur.

5. On désigne par et " les fonctions de répartitions respectives de et de , . (a) Exprimer " en fonction de en distinguant les deux cas : i 0 et ' 0.

(b) En déduire que , est une variable aléatoire à densité. Reconnaître la loi de , et donner la valeur de

;, et <,.

Exercice 7 : D’après EML 2008

Partie I : Étude d’une variable aléatoire

1. Soit W la fonction définie sur l’intervalle [0; 1] par :

W

2 %

(a) Montrer que W est une bijection de [0;1] sur [0;1] et, pour tout j ∈ 0; 1, exprimer W²j. b Déterminer deux réels m et n vérifiant ∶ ∀ ∈ 0; 1, W m L n

2 % (c) Calculer 8 W9_:

2. Soit une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l’intervalle [0;1].

(a) Donner l’espérance et la variance de la variable aléatoire .

(b) Pour tout réel j de [0;1] déterminer la probabilité de l’évènement p ₂₊⁺ i jq

(c) Montrer que la variable aléatoire , ₂₊⁺ admet une densité et déterminer une densité de ,. (d) Montrer que , admet une espérance ;, et déterminer sa valeur.

Partie II : Étude d’un temps d’attente

Soit [ un entier supérieur ou égal à 2. Une réunion est prévue entre [ invités que l’on note c, c , … , c_\. Chaque invité arrivera entre l’instant 0 et l’instant 1.

Pour tout entier s tel que 1 s [, on modélise l’instant d’arrivée de l’invité c_t par une variable aléatoire u_t de loi uniforme sur l’intervalle [0;1]. On suppose de plus que, pour tout réel , les [ événements u , u , … , u_\ , sont indépendants.

1. Soit un réel appartenant [0;1]. Pour tout entier s tel que 1 s [, on note v_t la variable aléatoire de Bernoulli prenant la valeur 1 si l’événement u_t est réalisé et la valeur 0 sinon.

On note w_x vL v L ⋯ L v_\.

(a) Que modélise la variable aléatoire w_x ? (b) Déterminer la loi de la variable aléatoire w_x.

2. Soit z la variable aléatoire égale à l’instant de la première arrivée.

(a) Soit un réel appartenant [0;1]. Comparer l’événement z et l’événement w_x 0. (b) Montrer que la variable aléatoire z admet une densité et en déterminer une.

3. Soit z la variable aléatoire égale à l’instant de la deuxième arrivée.

Montrer que la variable aléatoire z admet une densité et en déterminer une.

Exercice 8 : D’après ECRICOME 2009 Liminaire

Soient un réel dans l’intervalle 0; 1,[ un entier naturel non nul et w_\ la fonction définie par : w_\ { ^t

\

t|:

1. Calculer la somme w_\.

2. Dériver l’égalité obtenue et montrer que : { s^t2

\ t|:

[^\?% [ L 1^\L 1 1 %

Une municipalité a lancé une étude concernant les problèmes liés au transport.

Partie 1

Sur une ligne de bus, une enquête a permis de révéler que le retard (ou l’avance) sur l’horaire officiel du bus à une station donnée, peut être représenté(e) par une variable aléatoire réelle, notée X, exprimée en minutes, qui suit une loi normale }~;  ).

On admet de plus que la probabilité que le retard soit inférieur à 7 minutes est égale à € 0,8413 et que l’espérance de X est de 5 minutes.

1. Déterminer la valeur de  en utilisant la table de valeurs de la loi normale centrée réduite.

2. Quelle est la probabilité que le retard soit supérieur à 9 minutes ?

3. Sachant que le retard est supérieur à 3 minutes, quelle est la probabilité que le retard soit inférieur à 7 minutes ? (On exprimera cette probabilité à l’aide de la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite, puis on utilisera la table jointe en annexe).

4. Monsieur Thierex fréquente cette ligne de bus tous les jours pendant 10 jours. On suppose que les retards journaliers sont indépendants.

(a) On désigne par , la variable aléatoire réelle égale au nombre de jours où Monsieur Thierex a attendu moins de 7 minutes.

Déterminer la loi de ,, donner sans calcul, son espérance et sa variance.

(b) On définit par 4 la variable aléatoire discrète réelle indiquant le rang s du jour où pour la première fois Monsieur Thierex attend plus de 7 minutes si cet événement se produit.

Dans le cas contraire si le temps d’attente est inférieur à 7 minutes pendant les dix jours, 4 prend la valeur 0.

Déterminer en fonction de € la probabilité des évènements 4 0], puis 4 s pour 1 ≤ s ≤ 10. Utiliser le liminaire pour calculer l’espérance de 4 en fonction de €.

5. Lassé des retards de son bus, Monsieur Thurman décide de prendre le bus ou le métro selon le protocole suivant :

- Le premier jour, il prend le bus.

- Si le jour [ ([ ∈ ℕ^∗) il attend plus de 7 minutes pour prendre le bus, le jour [ L1 il prend le métro, sinon il prend de nouveau le bus.

- Si le jour [ il prend le métro, le jour [ L1 il prend le métro ou le bus de façon équiprobable.

On note €_\ la probabilité de l’événement d_\ : « Monsieur Thurman prend le bus le jour [ » (a) Justifier que pour tout entier naturel [ non nul :

€_\? …€ %1

2† €^\ +1 2 (b)Soit m le réel vérifiant :

m …€ %1

2† m +1 2

Déterminer m en fonction de €, puis montrer que, pour tout entier naturel [ non nul :

€_\ …€ %1 2†

\21 − m) + m (c) La suite €\ est-elle convergente ? Si oui, quelle est sa limite ?

Partie 2

1. Le nombre d’appels reçus par le standard d’une société de taxis pendant une période de durée suit une loi de Poisson ,_x de paramètre = , = étant une constante strictement positive. Une origine de temps étant choisie, on note u la variable aléatoire réelle représentant le temps d’attente du premier appel vers ce standard. Par convention *u = 0 pour i0.

(a) Pour tout entier naturel s, rappeler la valeur de la probabilité de l’événement ,_x s, ainsi que l’espérance et la variance de ,_x.

(b) Que peut-on dire des événements ,_x 0] et u pour > 0. En déduire la probabilité des événements évènements u ] et u pour > 0.

(c) Expliciter la fonction de répartition _‡ de u. Reconnaître la loi de u et donner son espérance et sa variance.

2. La durée, exprimée en heures, du transport d’un client par la société est une variable aléatoire 3 à densité dont une densité est donnée par :

V 0^2x si ≥ 0 0 sinon (a) Vérifier que V est bien une densité de probabilité.

(b) Montrer que 3 admet une espérance que l’on déterminera. Que représente cette espérance ?

Exercice 9 :

1) Soient 5 et ˆ deux entiers naturels tels que 5 i ˆ. Écrire un programme, en n’utilisant pas la fonction grand mais seulement la fonction rand, qui simule les valeurs prises par une variable aléatoire de loi uniforme sur ‰5, ˆŠ.

2) Soient [∈ ℕ^∗ et ∈ ]0,1 . Écrire un programme, en n’utilisant pas la fonction grand mais seulement la fonction rand, qui simule les valeurs prises par une variable aléatoire de loi ℬ[, €).