Variables aléatoires à densité
Table des matières
1 Généralités sur les variables aléatoires réelles 2
1.1 Définitions . . . 2
1.2 Fonction de répartition d’une variable aléatoire . . . 3
1.3 Loi d’une variable aléatoire . . . 4
1.4 Généralisation de la notion d’indépendance . . . 4
1.4.1 Indépendance de deux variables aléatoires réelles . . . 4
1.4.2 Indépendance mutuelle . . . 5
1.5 Généralisation des propriétés de l’espérance et de la variance . . . 5
1.5.1 Espérance . . . 5
1.5.2 Variance . . . 7
2 Variables aléatoires à densité 7 2.1 Définition des variables aléatoires à densité . . . 7
2.1.1 Généralités . . . 7
2.1.2 Densité d’une variable aléatoire . . . 8
2.1.3 Fonctions d’une variable aléatoire à densité . . . 10
2.1.4 Maximum et minimum de deux variables aléatoires à densité indépendantes . . . 12
2.2 Espérance d’une variable aléatoire à densité . . . 13
2.2.1 Définitions . . . 13
2.2.2 Théorème de transfert . . . 14
2.3 Moments d’une variable aléatoire à densité . . . 15
2.4 Variance d’une variable aléatoire à densité . . . 15
3 Lois à densité usuelles 17 3.1 Loi uniforme . . . 17
3.1.1 Loi uniforme sur [a, b] . . . 17
3.1.2 Loi uniforme sur [0,1] . . . 18
3.1.3 Transformation de variables aléatoires uniformes . . . 18
3.2 Loi exponentielle . . . 19
3.2.1 Loi exponentielle de paramètreλ . . . 19
3.2.2 Transformation de variables aléatoires exponentielles . . . 20
3.3 Loi normale . . . 21
3.3.1 Loi normale (ou de Laplace-Gauss)N µ, σ2 . . . 21
3.3.2 Loi normale centrée réduite N (0,1) . . . 22
3.3.3 Transformation de variables aléatoires normales . . . 23
Dans ce chapitre, toutes les variables aléatoires sont supposées définies sur le même espace probabilisé (Ω,A,P).
1 Généralités sur les variables aléatoires réelles
1.1 Définitions
Exemple 1. On demande à un individu de donner aléatoirement un nombre entre [0,1]. On note X la valeur indiqué. A priori X∈[0,1]. Il existe ainsi une infinité non dénombrable de valeurs possibles pour X.
Définition 1.1 : Variable aléatoire réelle
On appelle variable aléatoire réelle définie sur (Ω,A) toute application X: Ω → R
ω 7→ X(ω) telle que
∀x∈R, [X ≤x] ={ω∈Ω|X(ω)≤x} ∈ A.
L’ensemble des valeurs prises parX c’est à direX(Ω) est appelé l’univers image.
Remarque 1.2 : Variable aléatoire discrète
SiX(Ω) est de plus dénombrable,X est une variable aléatoire discrète : finie si X(Ω) fini, infinie sinon.
Exemple 2. Il y a plusieurs exemples de variables aléatoires réelles non discrètes (que l’on dira continues) :
• La variable aléatoire X égale à la taille d’une personne dans une ville donnée ou dans un pays donné, est une variable aléatoire.
• La variable aléatoire X égale à la durée de fonctionnement d’une ampoule électrique exprimée en heures, est une variable aléatoire.
Proposition 1.3 : Événements associés à une variable aléatoire SoitX une variable aléatoire réelle, pour tout intervalleI deR
[X ∈I] ={ω∈Ω|X(ω)∈I} ∈ A.
En particulier,
• [x≤X ≤y] ={ω ∈Ω|x≤X(ω)≤y}avec (x, y)∈R2,
• [X =x] ={ω∈Ω|X(ω) =x} avecx∈R.
Exemple 3. Soit Ω est l’ensemble des habitants en France. On définit X la variable aléatoire égale à la taille d’une personne en France (encm), l’ensemble suivant correspond à l’événement "les personnes entre 150cm et200 cm" :
[150≤X≤200].
1.2 Fonction de répartition d’une variable aléatoire
Définition 1.4 : Fonction de répartition d’une variable aléatoire
SoitX une variable aléatoire, on appelle fonction de répartition deX la fonction réelle définie surR par :
∀x∈R, FX(x) =P(X ≤x).
Remarque 1.5 : Interprétation de la fonction de répartition
Pourx∈R,FX(x) donne la probabilité que la variable aléatoireX ne dépasse pasx.
Propriété 1.6 : Fonction de répartition
SoitX une variable aléatoire réelle. La fonction de répartitionFX vérifie les propriétés suivantes
• ∀x∈R,0≤FX(x)≤1,
• FX est une fonction croissante,
• lim
x→−∞FX(x) = 0 et lim
x→+∞FX(x) = 1,
• FX est continue à droite en tout point deR :∀x∈R, lim
t→x t>x
FX(t) =FX(x).
Remarque 1.7 : Fonction de répartition d’une variable aléatoire discrète
Dans le cas d’une variable aléatoireX discrète, la fonction de répartitionFX est une fonction en escalier donc discontinue.
Exemple 4. Pour X ,→ B(p), sa fonction de répartition FX est donnée par
FX(x) =
0, six <0, 1−p, si x∈[0,1[, 1, six≥1.
.
Propriété 1.8 : Probabilité et fonction de répartition SoitX une variable aléatoire réelle.
∀(a, b)∈R2,P(a < X ≤b) =FX(b)−FX(a).
Proposition 1.9 : Continuité de la fonction de répartition en un point SoitX une variable aléatoire réelle.
FX est continue en x∈R ⇔ P(X=x) = 0.
1.3 Loi d’une variable aléatoire
Définition 1.10 : Loi d’une variable aléatoire
SoitX une variable aléatoire réelle. On appelle loi deX la donnée de toutes les probabilitésP(X∈A) où Aest une réunion au plus dénombrable d’intervalles de R.
Remarque 1.11 : Loi d’une variable aléatoire discrète
Pour déterminer la loi d’une variable aléatoire discrète, on s’intéresse uniquement à P(X=x) pour tout x∈X(Ω).
Pour une variable aléatoire pouvant prendre toute valeur réelle, il ne s’agira plus de calculer une probabilité d’apparition d’une valeur donnée mais plutôt d’un intervalle.
Proposition 1.12 : Caractérisation de la loi d’une variable aléatoire réelle SoientX et Y deux variables aléatoires réelles.
X etY ont même loi de probabilité ⇔ X etY ont même fonction de répartition.
On dira alors que la fonction de répartition caractérise la loi d’une variable aléatoire réelle.
1.4 Généralisation de la notion d’indépendance
1.4.1 Indépendance de deux variables aléatoires réelles
Remarque 1.13 : Rappel : indépendance de deux variables aléatoires discrètes
Deux variables aléatoires discrètesX etY sont indépendantes lorsque pour tout x∈X(Ω) ety∈Y(Ω), P([X=x]∩[Y =y]) =P(X=x)P(Y =y).
Définition 1.14 : Indépendance de deux variables aléatoires réelles
Deux variables aléatoires réelles X etY sont indépendantes lorsque pour tous intervalles réelsI etJ, P([X ∈I]∩[Y ∈J]) =P(X∈I)P(Y ∈J).
Proposition 1.15 : Indépendance de deux variables aléatoires réelles SoientX et Y deux variables aléatoires réelles
X etY sont indépendantes ⇐⇒ ∀x, y∈R,P([X ≤x]∩[Y ≤y]) =P(X ≤x)P(Y ≤y).
Proposition 1.16 : Lemme des coalitions basique
Soient deux fonctionsf etg définies sur R, si les variables aléatoires réelles X etY sont indépendantes alorsf(X) et g(Y) sont deux variables aléatoires indépendantes.
1.4.2 Indépendance mutuelle
Remarque 1.17 : Rappel : indépendance mutuelle de n variables aléatoires discrètes Les variables aléatoires discrètesX1 X2,. . .,Xnsont mutuellement indépendantes lorsque :
∀(x1, x2, . . . , xn)∈X1(Ω)×X2(Ω)× · · · ×Xn(Ω), P
n
\
i=1
[Xi=xi]
!
=
n
Y
i=1
P(Xi =xi).
Définition 1.18 : Indépendance mutuelle de nvariables aléatoires
Les variables aléatoires réelles X1 X2, . . ., Xn sont mutuellement indépendantes lorsque pour tous intervalles réelsI1,I2, ...,In, on a :
P
n
\
k=1
[Xk∈Ik]
!
=
n
Y
k=1
P(Xk∈Ik).
Proposition 1.19 : Indépendance mutuelle de nvariables aléatoires SoientX1 X2,. . .,Xn des variables aléatoires réelles
X1, X2, . . . , Xn mutuellement indépendantes ⇔ ∀x∈R,P
n
\
k=1
[Xk ≤x]
!
=
n
Y
k=1
P(Xk≤x).
Définition 1.20 : Suite de variables aléatoires indépendantes On dit qu’une suite de variables aléatoires (Xk)k∈
N∗ est une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes si, pour toute partieI finie deN∗, les variablesXk(k∈I) sont mutuellement indépendantes.
Proposition 1.21 : Lemme des coalitions
Soient les variables aléatoires X1 X2, . . ., Xn sont mutuellement indépendantes, alors toute variable aléatoire, fonction dep d’entre elles (p < n), est indépendante de toute variable aléatoire fonction des n−p autres.
1.5 Généralisation des propriétés de l’espérance et de la variance
On admet que les propriétés vues pour l’espérance et la variance des variables aléatoires discrètes se généralisent aux variables aléatoires réelles quelconques.
1.5.1 Espérance
Propriété 1.22 : Linéarité de l’espérance
Si les variables aléatoiresX et Y admettent une espérance, alors X+Y admet une espérance, et on a : E(X+Y) =E(X) +E(Y).
Propriété 1.23 : Généralisation : linéarité de l’espérance
Si les variables aléatoiresX1 X2,. . .,Xn ont chacune une espérance, alors toute combinaison linéaire de ces variables aléatoires admet également une espérance, et on a :
∀(a1, . . . , an)∈Rn, E
n
X
k=1
akXk
!
=
n
X
k=1
akE(Xk).
Propriété 1.24 : Croissance de l’espérance
Soient deux variables aléatoiresX et Y ayant chacune une espérance. Si X≤Y presque sûrement (i.e.
P(X≤Y) = 1), alors
E(X)≤E(Y).
Exemple 5. Soient X et Y deux variables aléatoires telles que X(Ω) = [0,1] et Y(Ω) = [1,2], alors on a P(X ≤Y) = 1 et donc
E(X)≤E(Y).
Propriété 1.25 : Espérance et indépendance
Si deux variables aléatoires indépendantesX etY ont chacune une espérance, alorsXY a une espérance et on a :
E(XY) =E(X)E(Y).
Propriété 1.26 : Généralisation : espérance et indépendance
Si les variables aléatoiresX1 X2, . . ., Xn ont chacune une espérance et sont mutuellement indépendantes, alors leur produit a une espérance et on a :
E
n
Y
k=1
Xk
!
=
n
Y
k=1
E(Xk).
Définition 1.27 : Variable aléatoire centrée
Toute variable aléatoire admettant une espérance nulle est dite centrée.
Définition 1.28 : Variable aléatoire centrée associée à X
SoitX une variable aléatoire admettant une espérance E(X), la variable aléatoire X−E(X) est une variable aléatoire centrée appelée la variable aléatoire centrée associée à X.
1.5.2 Variance
Propriété 1.29 : Indépendance et variance
Si les variables aléatoires X et Y admettent une variance et sont indépendantes, alors X+Y admet également une variance, et on a :
V (X+Y) =V (X) +V (Y).
Propriété 1.30 : Généralisation : indépendance mutuelle et variance
Soient les variables aléatoires X1 X2,. . .,Xn mutuellement indépendantes et admettant une variance, alors leur somme admet une variance, et on a :
V
n
X
k=1
Xk
!
=
n
X
k=1
V (Xk).
Propriété 1.31 : Variance d’une transformation affine
SoitX une variable aléatoire possédant une variance eta, b∈R, alorsaX+badmet une variance, et on a V(aX+b) =a2V(X).
Définition 1.32 : Variable aléatoire réduite
Une variable aléatoire est dite réduite si sa variance vaut 1.
Définition 1.33 : Variable aléatoire centrée réduite associée à X
Soit X une variable aléatoire admettant une espérance et une variance non nulle, la variable aléatoire X∗ = X−E(X)
σ(X) est une variable aléatoire centrée réduite, appelée la variable aléatoire centrée réduite associée àX.
2 Variables aléatoires à densité
2.1 Définition des variables aléatoires à densité 2.1.1 Généralités
Définition 2.1 : Variable aléatoire à densité
On dit qu’une variable aléatoire réelleX est à densité si sa fonction de répartition FX est :
• continue surR,
• de classeC1 sur R, sauf éventuellement en un nombre fini de points.
Méthode 2.2 : Comment montrer qu’une variable aléatoire est à densité connaissant sa fonction de répartition ?
En revenant à la définition, une fonctionF est la fonction de répartition d’une variable aléatoire à densité X si et seulement si
• F est définie et croissante surR,
• lim
x→−∞F(x) = 0 et lim
x→+∞F(x) = 1,
• F est continue surR,
• F est de classeC1 sauf éventuellement en un nombre fini de points.
Exemple 6. Montrer queF(x) = 1
1 +e−x pour x∈R est une fonction de répartition de variable aléatoire à densité.
Exemple 7. On rappelle que pour X ,→ B(p), la fonction de répartition FX n’est pas continue en 0 et en 1.
X n’est donc pas une variable aléatoire à densité.
Remarque 2.3 : Les variables aléatoires discrètes ne sont pas des variables aléatoires à densité On peut généraliser le résultat précédent :
X est une variable aléatoire discrète ⇒ X n’est pas une variable aléatoire à densité.
En effet, siX est une variable aléatoire discrète, alorsFX est une fonction en escalier donc discontinue.
2.1.2 Densité d’une variable aléatoire
Définition 2.4 : Densité d’une variable aléatoire
Soit X une variable aléatoire à densité de fonction de répartition FX. On appelle densité de X toute fonction réelle fX :R→Rtelle que
• ∀x∈R,fX(x)≥0,
• fX(x) =FX0 (x) en chaque point x oùFX est de classeC1.
Exemple 8. Considérons une variable aléatoire X dont la fonction de répartition F est la suivante
F(x) =
0, si x <0,
x
5, si x∈[0,5], 1, si x >5.
Propriété 2.5 : Densité et fonction de répartition
SoitX une variable aléatoire admettant une densitéfX. On a alors
• On a ∀x∈R,
FX(x) =P(X ≤x) = Z x
−∞
fX(t)dt, donc
Z +∞
−∞
fX(t)dt= 1 et∀x∈R,P(X=x) = 0,
• ∀(a, b)∈R2,
P(X < a) =P(X≤a) = Z a
−∞
fX(t)dt et P(X > b) = 1−P(X ≤b) = Z +∞
b
fX(t)dt,
• ∀(a, b)∈R2, avec a≤b
P(a < X ≤b) =FX(b)−FX(a) = Z b
a
fX(t)dt.
Remarque 2.6 : Loi d’une variable aléatoire à densité
Ces propriétés illustrent l’intérêt des variables aléatoires à densité : on obtient la valeur de la fonction de répartition FX et donc la loi de X sous forme d’un calcul d’intégrales (éventuellement impropres).
Proposition 2.7 : Caractérisation de la densité
Une fonctionf :R→Rest une densité de probabilité si et seulement si,
• f est positive et continue, sauf éventuellement en un nombre fini de points,
• Z +∞
−∞
f(t)dt converge et vaut 1.
Exemple 9. On définit une fonction f sur R par :
f(x) =
0, six <−1,
1 +x, si −1≤x <0, 1−x, si 0≤x <1, 0, six≥1.
1. Montrer que f est une densité de probabilité et tracer son graphe.
2. Soit X une variable aléatoire de densité f. ExpliciterFX. 3. Calculer P
X > 1
2
et P
|X| ≤ 1 3
.
Proposition 2.8 : Dérivée de la fonction de répartition
SoitX une variable aléatoire admettant une densité fX, alors la fonction de répartitionFX est de classe C1 en tout point où fX est continue. En un tel point, on a :
FX0 (x) =fX(x).
Proposition 2.9 : Dérivabilité de la fonction de répartition
SoitX une variable aléatoire admettant une densité fX, sifX est continue à droite (resp. à gauche) enx, alorsFX est dérivable à droite (resp. à gauche) en x.
Exemple 10. Les cas suivants correspondent aux lois à densité usuelles.
Il faut savoir prouver dans tous les cas quef est une densité de probabilité, ainsi que calculer l’expression de la fonction de répartition associée (dans le cas des lois uniformes et exponentielles seulement ).
Loi de X Densité usuelle de X Fonction de répartition de X
Loi uniforme U([a, b]) f(x) =
1
b−a, si x∈[a, b], 0, sinon.
F(x) =
0, six < a, x−a
b−a, si x∈[a, b], 1, six > b.
(avec a < b)
Loi exponentielle E(λ) f(x) =
(0, six <0,
λ e−λx, si x≥0. F(x) =
(0, si x <0,
1−e−λx, si x≥0.
(avec λ >0)
Loi normale centrée réduite N(0,1) ϕ(x) = 1
√ 2πe−x
2
2 . Pas d’expression simple pour la fonction de répartitionΦ de X.
Loi normale N µ, σ2 ϕµ,σ(x) = 1 σ√
2πe−
(x−µ)2
2σ2 . Pas d’expression simple pour la fonction de répartition Φµ,σ de X.
(avec µ∈R et σ >0)
Nous reviendrons sur ces lois usuelles plus loin dans ce cours.
2.1.3 Fonctions d’une variable aléatoire à densité Proposition 2.10 : Transformation affine
Soient X une variable aléatoire admettant une densité fX et (a, b) ∈ R2 avec a 6= 0, alors la variable aléatoireY =aX+best une variable aléatoire à densité. De plus, sa densité est donnée par
fY :x7→ 1
|a|fX
x−b a
.
Démonstration. Déterminons FY la fonction de répartition deY.
∀x∈R, FY(x) =P(Y ≤x) =P(aX+b≤x) =P(aX ≤x−b).
On peut alors distinguer deux cas :
• Sia >0, alors : FY(x) =P
X≤ x−b a
=FX
x−b a
.
• Sia <0, alors : FY(x) =P
X≥ x−b a
= 1−P
X < x−b a
= 1−FX
x−b a
.
Or la fonction x7→ x−b
a est C1 sur R. La fonction FX étant la fonction de répartition d’une variable aléatoire à densité, on sait queFX est continue surRetC1sauf en un nombre fini de points. Par composition, on en déduit queFY est continue sur Ret C1 sauf en un nombre fini de points. On en déduit queY est une variable aléatoire à densité.
Déterminons une densité de Y.
• Sia >0, alors : FY0 (x) = 1 aFX0
x−b a
= 1 afX
x−b a
.
• Sia <0, alors : FY0 (x) =−1 aFX0
x−b a
=−1 afX
x−b a
. On en conclut qu’une densité de Y est donnée par :x7→ 1
|a|fX
x−b a
.
Remarque 2.11 : Attention!
Si X et Y sont des variables aléatoires à densité, X+Y n’est pas forcément une variable aléatoire à densité. En effet, on peut considérerX et Y = 1−X, pourtant X+Y = 1 n’est pas à densité car discrète.
Proposition 2.12 : Transformation polynomiale
Soit X une variable aléatoire admettant une densité fX, alors la variable aléatoire Y = X2 est une variable aléatoire à densité. De plus, sa densité est donnée par
fY :x7→
0, si x≤0, 1
2√
x (fX(√
x) +fX(−√
x)), six >0.
Démonstration. A faire en exercice.
Proposition 2.13 : Transformation exponentielle
SoitX une variable aléatoire admettant une densitéfX, alors la variable aléatoireY =eX est une variable aléatoire à densité. De plus, sa densité est donnée par
fY :x7→
0, si x≤0, 1
xfX(ln(x)), six >0.
Démonstration. Déterminons FY la fonction de répartition deY.
∀x∈R,[Y ≤x] = [eX ≤x] = (
∅, six≤0,
[X≤ln(x)], six >0.
On obtient donc
∀x∈R, FY(x) =
(0, six≤0,
FX(ln(x)), six >0.
La fonctionFY est continue surR∗+ etR∗− et lim
x→0+FY(x) = lim
x→0+FX(ln(x)) = lim
t→−∞FX(t) = 0.
On a bien lim
x→0+FY(x) = lim
x→0−FY(x) = 0. On en déduit queFY est continue surRetC1 surR∗. On en déduit queY est une variable aléatoire à densité.
Déterminons une densité de Y.
∀x >0, FY0(x) = 1
xFX0 (ln(x)) = 1
xfX(ln(x)).
On en conclut qu’une densité de Y est donnée par :
x7→
0, six≤0, 1
xfX(ln(x)), six >0.
Remarque 2.14 : Attention!
Si X est une variable aléatoire à densité etϕune fonction continue quelconqueϕ(X) n’est pas forcément une variable aléatoire à densité.
Exemple 11. On considère une variable aléatoire à densité X et on définit Y =X+|X|. On a alors
FY(x) =
P(X+|X| ≤x <0) = 0, six <0, P(X=−|X|) =FX(0), six= 0, P(|X| ≤x−X) =P(X−x≤X ≤x−X) =FX x2, six >0.
Si FX(0)>0,Y n’est ni une variable aléatoire à densité, ni une variable aléatoire discrète.
2.1.4 Maximum et minimum de deux variables aléatoires à densité indépendantes
Méthode 2.15 : Comment déterminer la loi deMax(X, Y), siX et Y sont indépendantes et à densité ? SoientX etY deux variables aléatoires à densité indépendantes. Pour trouver la loi de S= Max(X, Y), on cherche la fonction de répartition de S, on a :
∀x∈R,[S≤x] = [X≤x]∩[Y ≤x].
On obtient alors la fonction de répartition deS avec
∀x∈R, FS(x) =P(S ≤x) =P(X≤x)P(Y ≤x) =FX(x)FY(x).
Exemple 12. Soient X ,→ U([0,1]) et Y ,→ U([0,1]) deux variables aléatoires indépendantes, déterminer la loi deS = Max(X, Y).
Remarque 2.16 : Maximum de variables aléatoires à densité mutuellement indépendantes
SoientX1 X2,. . .,Xn des variables aléatoires à densité mutuellement indépendantes, pour déterminer le S= Max(X1, X2, . . . , Xn), on utilise la même méthode que précédemment :
∀x∈R, FS(x) =P(S≤x) =P
n
\
k=1
[Xk≤x]
!
=
n
Y
k=1
P(Xk ≤x) =
n
Y
k=1
FXk(x).
Méthode 2.17 : Comment déterminer la loi de Min(X, Y) si X et Y sont indépendantes et à densité ? SoientX etY deux variables aléatoires à densité indépendantes. Pour trouver la loi deI = Min(X, Y), on cherche la fonction de répartition de I, on a :
∀x∈R,[I > x] = [X > x]∩[Y > x].
On obtient alors la fonction de répartition deI avec
∀x∈R, FI(x) = 1−P(I > x) = 1−(1−FX(x)) (1−FY(x)).
Exemple 13. Soient a, b >0, X ,→ E(a) et Y ,→ E(b) deux variables aléatoires indépendantes, déterminer la loi deI = Min(X, Y).
2.2 Espérance d’une variable aléatoire à densité 2.2.1 Définitions
Définition 2.18 : Espérance
Soit X une variable aléatoire admettant une densité fX. On dit que X admet une espérance E(X) si l’intégrale
Z +∞
−∞
tfX(t)dt est absolument convergente. Dans ce cas,
E(X) = Z +∞
−∞
tfX(t)dt.
Remarque 2.19 : Propriétés de l’espérance
Les propriétés classiques de l’espérance (vues dans la partie 1.5.1) sont également vérifiées pour l’espérance des variables aléatoires à densité.
Exemple 14. On reprend la fonction f, densité de la variable aléatoire X, définie par :
f(x) =
0, six <−1,
1 +x, si −1≤x <0, 1−x, si 0≤x <1, 0, six≥1.
Montrer que X admet une espérance.
Remarque 2.20 : Important!
Il existe des variables aléatoires à densité n’admettant pas d’espérance.
Exemple 15. On considère la fonction f, densité de la variable aléatoireX, définie par : f(x) = 1
π(1 +x2) (loi de Cauchy).
Propriété 2.21 : Linéarité "faible" de l’espérance
Soient X une variable aléatoire à densité admettant une espérance et (a, b) ∈ R2 avec a 6= 0, alors Y =aX+b admet une espérance vérifiant
E(Y) =E(aX +b) =a E(X) +b.
Définition 2.22 : Variable aléatoire centrée
Toute variable aléatoire à densité admettant une espérance nulle est dite centrée.
Définition 2.23 : Variable aléatoire centrée associée à X
SoitX une variable aléatoire à densité admettant une espérance E(X), la variable aléatoire X−E(X) est une variable aléatoire à densité centrée appelée la variable aléatoire centrée associée àX.
2.2.2 Théorème de transfert
Théorème 2.24 : Théorème de transfert
SoientX une variable aléatoire à densitéfX nulle en dehors d’un intervalle ]a, b[ (avec−∞ ≤a < b≤+∞) etϕ:]a, b[→Rcontinue sauf en un nombre finie de points. Alors
ϕ(X) admet une espérance ⇔ Z b
a
ϕ(t)fX(t)dt converge absolument.
On a alors :
E(ϕ(X)) = Z b
a
ϕ(t)fX(t)dt.
Méthode 2.25 : Comment utiliser le théorème de transfert ?
PourX etϕ vérifiant les hypothèses du théorème de transfert, on détermine l’espérance de Y =ϕ(X) sans chercher sa loi mais seulement en montrant que l’intégrale
Z b a
ϕ(t)fX(t)dt converge absolument.
Dans ce cas, on a :
E(Y) = Z b
a
ϕ(t)fX(t)dt.
Exemple 16. Soit X une variable aléatoire de densité fX définie par : fX(t) =
(e−t, sit≥0, 0, si t <0.
La variable aléatoire Y = 1
1 +e−X admet-elle une espérance ? Si oui, la calculer.
2.3 Moments d’une variable aléatoire à densité Définition 2.26 : Moments d’une variable aléatoire à densité
Soient X une variable aléatoire à densité fX et r ∈N∗. On dit que X admet un moment d’ordre r si Z +∞
−∞
trfX(t)dt converge absolument. Dans ce cas, on appelle moment d’ordrer deX le réel
mr(X) = Z +∞
−∞ trfX(t)dt.
Proposition 2.27 : Moments et espérance d’une variable aléatoire à densité
Soient X une variable aléatoire à densité et r ∈ N∗. On dit que X admet un moment d’ordre r si et seulement, siXr admet une espérance. On a alors
mr(X) =E(Xr).
Exemple 17. Soit X une variable aléatoire de densité fX définie par : fX(t) =
(e−t, sit≥0, 0, si t <0.
Calculer les moments d’ordre 1 et2 de X.
2.4 Variance d’une variable aléatoire à densité Définition 2.28 : Variance d’une variable aléatoire à densité
SiX une variable aléatoire à densité admettant une espérance et X−E(X) a un moment d’ordre 2, on dit que X admet une varianceV(X),
V(X) =E(X−E(X))2.
Remarque 2.29 : Propriétés de la variance
Les propriétés classiques de la variance (vues dans la partie 1.5.2) sont également vérifiées pour la variance des variables aléatoires à densité.
Proposition 2.30 : Formule de Koenig-Huygens SoitX une variable aléatoire à densité, on a
X admet une variance ⇔ X admet un moment d’ordre 2.
Dans ce cas, on a
V(X) =EX2−E(X)2.
Méthode 2.31 : Comment montrer qu’une variable à densité possède une variance ?
Pour montrer qu’une variable aléatoire à densitéX (de densité fX) possède un moment d’ordre 2, il faut vérifier que l’intégrale
Z +∞
−∞ t2fX(t)dt est convergente et, dans ce cas, sa valeur est égale à E(X2). Puis, après avoir calculer l’espérance deX, on utilise la formule de Koenig-Huygens afin de calculer la variance deX :
V(X) =EX2−E(X)2.
Exemple 18. On reprend la variable aléatoire X de densité fX définie dans l’exemple précédent. Calculer la variance de X.
Remarque 2.32 : Important!
Il existe des variables aléatoires à densité n’admettant pas de variance.
Exemple 19. On considère la fonction fX, densité de la variable aléatoireX (à vérifier en exercice), définie par :
fX(t) =
2
t3, si t≥1, 0, si t <1.
Montrer que X possède une espérance mais pas de variance.
Définition 2.33 : Écart-type
Soit X une variable aléatoire à densité admettant un moment d’ordre 2, on appelle écart-type de la variable aléatoireX le réel
σ(X) = q
V(X).
Définition 2.34 : Variable aléatoire centrée réduite
Soit X une variable aléatoire à densité admettant un moment d’ordre 2. Si X vérifie E(X) = 0 et σ(X) = 1, elle est dite centrée réduite.
Définition 2.35 : Variable aléatoire centrée réduite associée à X
Soit X une variable aléatoire à densité admettant un moment d’ordre 2, la variable aléa- toire X∗ = X−E(X)
σ(X) est une variable aléatoire à densité, centrée réduite, appelée la variable aléatoire centrée réduite associée àX.
Exemple 20. On reprend la variable aléatoire X de densité fX définie par : fX(t) =
(e−t, sit≥0, 0, si t <0.
La variable aléatoire centrée réduite associée àX est X∗ = X−E(X)
pV(X) = X−1
√
1 =X−1.
X∗ est donc d’espérance nulle et d’écart-type égal à1.
3 Lois à densité usuelles
3.1 Loi uniforme
3.1.1 Loi uniforme sur [a, b]
Définition 3.1 : Loi uniforme
On dit qu’une variable aléatoireX suit une loi uniforme sur [a, b] si X a pour densité la fonctionf définie par :
f(x) =
1
b−a, six∈[a, b], 0, sinon.
On noteraX ,→ U([a, b]).
Remarque 3.2 : Intervalle de la loi uniforme
L’intervalle sur lequel X ne s’annule peut être choisi égal à l’intervalle [a, b], [a, b[, ]a, b] ou ]a, b[.
Proposition 3.3 : Fonction de répartition
SiX ,→ U([a, b]), alors sa fonction de répartition F est définie par :
F(x) =
0, six < a, x−a
b−a, si x∈[a, b], 1, six > b.
Proposition 3.4 : Espérance et variance
SiX ,→ U([a, b]), alors X possède une espérance et une variance données par : E(X) = a+b
2 et V(X) = (b−a)2 12 .
Méthode 3.5 : Situation caractéristique
On choisit un réel au hasard dans le segment [a, b], et on note X le réel obtenu.X suit une loi uniforme sur [a, b].
Exemple 21. Dans la journée, le RER B passe toutes les 6 minutes à la station de Massy. On note X le temps d’attente d’une personne à cette station. On suppose queX suit une loi uniforme sur [0,6]. Quelle est la probabilité que cette personne attende entre 3 et 5 minutes ?
3.1.2 Loi uniforme sur [0,1]
Définition 3.6 : Loi uniforme
SiX ,→ U([0,1]), alors sa densitéf est définie par :
f(x) =
(1, si x∈[0,1], 0, sinon.
Proposition 3.7 : Fonction de répartition
SiX ,→ U([0,1]), alors sa fonction de répartitionF est définie par :
F(x) =
0, six <0, x, six∈[0,1], 1, six >1.
Proposition 3.8 : Espérance et variance
SiX ,→ U([0,1]), alorsX possède une espérance et une variance données par : E(X) = 1
2 et V(X) = 1 12.
3.1.3 Transformation de variables aléatoires uniformes
Propriété 3.9 : Transformation affine de variables aléatoires uniformes Pour tout (a, b)∈R2 tel quea < b, on a :
X ,→ U([0,1]) ⇐⇒ (b−a)X+a ,→ U([a, b]).
Démonstration. D’après la proposition sur la transformation affine d’une variable aléatoire à densité, Y = αX+β avec α6= 0 est une variable aléatoire à densité avec pour densité
fY(x) = 1 αfX
x−β α
.
Or x−β
α ∈[0,1]⇐⇒x∈[β, α+β], ainsi fY(x) =
1
α, six∈[β, α+β], 0, sinon.
En posantα=b−a(aveca6=b) etβ =a, on obtient bien
fY(x) =
1
b−a, six∈[a, b], 0, sinon.
Méthode 3.10 : Comment déterminer la loi de la variable aléatoire X2? SoitX une variable aléatoire qui suit la loiU([a, b]).
On détermine X2(Ω), puis on cherche la fonction de répartition deX2, en utilisant :
√ √
18
Méthode 3.10 :Comment déterminer la loi de la variable aléatoire X2? Soit X une variable aléatoire qui suit la loiU([a, b]).
On détermine X2(Ω), puis on cherche la fonction de répartition deX2, en utilisant :
∀x∈R+, hX2≤xi=−√
x≤X≤√ x
Exemple 22. Soit X une variable aléatoire qui suit la loi U([−2,2]). Déterminer une densité de Y =X2. Méthode 3.11 : Comment déterminer la loi de la variable aléatoire bXc?
La partie entière d’une variable aléatoire à densité est une variable aléatoire discrète, on ne cherchera donc pas sa fonction de répartition, mais directement sa loi.
SoitX une variable aléatoire qui suit la loiU([a, b]).
On détermine (bXc) (Ω), puis on cherche la loi de bXc, en utilisant :
∀k∈(bXc) (Ω), [bXc=k] = [k≤X < k+ 1]
Exemple 23. Soit X une variable aléatoire qui suit la loiU([1, n+ 1[) avec n∈N∗. Déterminer la loi de la variable aléatoire Y =bXc.
3.2 Loi exponentielle
3.2.1 Loi exponentielle de paramètre λ Définition 3.12 : Loi exponentielle
On dit qu’une variable aléatoireX suit une loi exponentielle de paramètreλ >0 siX a pour densité la fonctionf définie par :
f(x) =
(0, si x <0, λ e−λx, six≥0.
On noteraX ,→ E(λ).
Remarque 3.13 : Intervalle de la loi exponentielle
L’intervalle sur lequel X ne s’annule peut être choisi égal à R+ ouR∗+.
Proposition 3.14 : Fonction de répartition
SiX ,→ E(λ), alors sa fonction de répartitionF est définie par :
F(x) =
(0, six <0,
1−e−λx, si x≥0.
Proposition 3.15 : Espérance et variance
SiX ,→ E(λ), alorsX possède une espérance et une variance données par : E(X) = 1
λ et V(X) = 1 λ2.
Définition 3.16 : Variable aléatoire sans mémoire
On dit qu’une variable aléatoireX, à valeurs positives, est "sans mémoire" si, pour tout (t, h)∈R2+, on a : P(X > t+h) =P(X > t)P(X > h).
Remarque 3.17 : Interprétation de la propriété d’absence de mémoire SiP(X > h)6= 0, la propriété d’absence de mémoire s’écrit :
∀(t, h)∈R2+, P[X>h](X > t+h) =P(X > t).
De plus, pourt et hentiers naturels, les variables aléatoires suivant la loi géométrique vérifient également cette propriété.
Proposition 3.18 : Caractérisation de la loi exponentielle
Les variables aléatoires suivant une loi exponentielle sont les seules variables aléatoires positives sans mémoire (à l’exception de la variable quasi-certaine égale à 0).
Méthode 3.19 : Situation caractéristique
Cette loi est aussi appelée loi de durée de vie sans vieillissement. La probabilité que le phénomène dure au moinst+h heures sachant qu’il a déjà duré theures sera la même que la probabilité de durer theures à partir de sa mise en fonction initiale. En d’autres termes, le fait que le phénomène ait duré pendanth heures ne change rien à son espérance de vie à partir du tempsh.
Exemple 24. Chaque atome radioactif possède une durée de vie qui suit une loi exponentielle. Le paramètre λs’appelle alors la constante de désintégration.
3.2.2 Transformation de variables aléatoires exponentielles
Propriété 3.20 : Transformation affine de variables aléatoires exponentielles Pour toutλ >0, on a :
X ,→ E(1) ⇐⇒ 1
λX ,→ E(λ).
Démonstration. D’après la proposition sur la transformation affine d’une variable aléatoire à densité,Y = 1 λX est une variable aléatoire à densité avec pour densité
fY(x) =λ fX(λx). Orλx∈R+⇐⇒x∈R+, ainsi
fY(x) =
(0, six <0, λ e−λx, six≥0.
Propriété 3.21 : Méthode d’inversion pour la loi exponentielle Pour toutλ >0, si U ,→ U([0,1[), alors −1
λln (1−U),→ E(λ).
Démonstration. SiU est une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [0,1[, on a :
∀x∈R, FX(x) =P(U ≤FX(x)).
• Pour x≥0,
FX(x) = P U ≤1−e−λx=P 1−U ≥e−λx
= P(ln(1−U)≥ −λx)
cart7→ln(t) est strictement croissante surR∗+
= P
−1
λln(1−U)≤x
• Pour x <0, on a égalementFX(x) = 0 =P
−1
λln(1−U)≤x
. La fonction de répartition caractérisant la loi, ceci prouve queX et−1
λln(1−U) suivent la même loi.
Remarque 3.22 : Méthode d’inversion pour la loi exponentielle
Cette méthode d’inversion permet de simuler la loi exponentielle à partir de la loi uniforme : lambda=input(’entrez la valeur de lambda : ’),
X=-log(1-rand(1,1))/lambda,
3.3 Loi normale
3.3.1 Loi normale (ou de Laplace-Gauss) N µ, σ2 Définition 3.23 : Loi normale
On dit qu’une variable aléatoireX suit une loi normale de paramètres µ etσ >0 siX a pour densité la fonctionϕµ,σ définie par :
∀x∈R, ϕµ,σ(x) = 1 σ√
2πe−
(x−µ)2 2σ2 . On noteraX ,→ N µ, σ2.
Proposition 3.24 : Fonction de répartition
SiX ,→ Nµ, σ2, alors sa fonction de répartition Φµ,σ est définie par :
∀x∈R, Φµ,σ(x) = 1 σ√
2π Z x
−∞e−
(t−µ)2 2σ2 dt.
Proposition 3.25 : Espérance et variance
SiX ,→ Nµ, σ2, alors X possède une espérance et une variance données par : E(X) =µ et V(X) =σ2.
Remarque 3.26 : Allure la fonction gaussienne
On peut tracer la fonctionϕµ,σ pour µ= 0 etσ = 1 avec Scilab à l’aide des commandes : x=linspace(-6,6,100); plot2d(x,exp(-x.^2/2)/sqrt(2*%pi))
Proposition 3.27 : Somme de variables normales indépendantes
SoientX1,→ N µ1, σ12etX2,→ N µ2, σ22deux variables aléatoires indépendantes, alors X1+X2 ,→ N µ1+µ2, σ12+σ22.
Démonstration. La démonstration est hors-programme.
Proposition 3.28 : Somme de variables normales mutuellement indépendantes
SiX1 X2,. . .,Xn sont mutuellement indépendantes etXk,→ N µk, σk2pour k∈[[1, n]], alors
n
X
k=1
Xk,→ N
n
X
k=1
µk,
n
X
k=1
σk2
! .
3.3.2 Loi normale centrée réduite N (0,1) Définition 3.29 : Loi normale centrée réduite SiX ,→ N(0,1), alors sa densité ϕest définie par :
∀x∈R, ϕ(x) = 1
√2πe−x
2 2 .
Proposition 3.30 : Fonction de répartition
SiX ,→ N(0,1), alors sa fonction de répartition Φ est définie par :
∀x∈R, Φ(x) = 1
√2π Z x
−∞
e−t
2 2dt.
Remarque 3.31 : Calcul explicite impossible de la fonction de répartition On ne sait pas expliciter Φ et Φµ,σ à l’aide de fonctions usuelles.
Propriété 3.32 : Parité de la densité de la loi normale Pour toutx∈R, on a :
Φ(−x) = 1−Φ(x).
En particulier, Φ(0) = 1 2.
Proposition 3.33 : Espérance et variance
SiX ,→ N(0,1), alors X possède une espérance et une variance données par : E(X) = 0 et V(X) = 1.
3.3.3 Transformation de variables aléatoires normales
Propriété 3.34 : Transformation affine de variables aléatoires normales Pour tout (a, b)∈R2 (aveca6= 0), on a :
X ,→ N µ, σ2 ⇐⇒ aX+b ,→ N aµ+b,(aσ)2.
Démonstration. D’après la proposition sur la transformation affine d’une variable aléatoire à densité, Y = aX+b est une variable aléatoire à densité avec pour densité
fY(x) = 1
|a|fX
x−b a
= 1
|a|
1 σ√
2πe−
(x−b a −µ)2
2σ2 = 1
(|a|σ)√ 2πe−
(x−(aµ+b))2 2(aσ)2
Ainsi Y ,→ N aµ+b,(aσ)2.
Proposition 3.35 : Transformation vers la loi normale centrée réduite En particulier,
X ,→ Nµ, σ2 ⇐⇒ X−µ
σ ,→ N (0,1).
Méthode 3.36 : Comment déterminer la loi de la variable aléatoire eX? SoitX une variable aléatoire qui suit la loiN(0,1).
On détermineeX(Ω), puis on cherche la fonction de répartition deeX, en utilisant :
∀x∈eX(Ω), heX ≤xi= [X ≤ln(x)]
Exemple 25. Soit X une variable aléatoire qui suit la loi N (0,1). Déterminer une densité de Y =eX.
