Variables aléatoires à densité

(1)

Variables aléatoires à densité

Cours de É. Bouchet ECS1 15 mai 2020

Table des matières

1 Généralités 2

1.1 Présentation . . . 2

1.2 Variables aléatoires à densité . . . 2

1.3 Caractérisation d'une variable à densité par sa densité . . . 3

1.4 Propriétés . . . 4

1.5 Étude deY =aX+b . . . 5

2 Moments d'une variable aléatoire à densité 6 2.1 Espérance . . . 6

2.2 Variables centrées . . . 7

3 Loi uniforme 7 3.1 Loi uniforme sur[0,1] . . . 7

3.2 Cas général : loi uniforme sur[a, b]aveca < b . . . 8

3.3 Représentation graphique . . . 9

4 Loi exponentielle 9 4.1 Dénition et propriétés . . . 9

4.3 Absence de mémoire . . . 11

5 Loi normale centrée réduite 11 5.1 Dénition et propriétés . . . 11

6 Loi normale générale, ou loi de Laplace-Gauss 13 6.1 Dénition . . . 13

6.2 Propriétés . . . 13

(2)

1 Généralités

1.1 Présentation

Les variables aléatoires discrètes ne couvrent pas tous les exemples de la vie courante, elles sont en particulier inecaces pour modéliser les phénomènes qui présentent un caractère continu : durée de vie d'une ampoule, temps entre deux pannes pour une machine, distance parcourue par une voiture avec un plein, intensité dans une prise, etc.

Dans ce type de situation, la probabilité d'un événement élémentaire est nulle, car il y a une innité de valeurs possibles :∀x ∈ R, P(X=x) = 0. Cela signie qu'il faut développer d'autres stratégies que la loi pour étudier X : on va se servir de la fonction de répartition.

Rappels Pour toute variable aléatoire réelleX, la fonction de répartition de X est dénie pour tout x∈R par F_X(x) =P(X 6x) et vérie les quatre propriétés suivantes :

1. F_X est croissante sur R

2. F_X est continue à droite sur R 3. lim

x→+∞F_X(x) = 1 4. lim

x→−∞F_X(x) = 0

On admettra ici que la réciproque de ce résultat est également vraie : pour toute fonction vériant ces quatre propriétés, il existe une variable aléatoire dont c'est la fonction de répartition.

1.2 Variables aléatoires à densité

On appelle variable aléatoire à densité, toute variable aléatoire réelle dont la fonction de répartition est continue sur R et de classeC¹ surR privé éventuellement d'un nombre ni de points.

Dénition (Variable aléatoire à densité).

Toute fonction F dénie sur Rvériant : 1. F est croissante sur R,

2. F est continue sur R,

3. F est de classe C¹ surR privé éventuellement d'un nombre ni de points, 4. lim

x→+∞F(x) = 1, 5. lim

x→−∞F(x) = 0,

est la fonction de répartition d'une variable aléatoire à densité.

Proposition (Caractérisation de la fonction de répartition d'une variable aléatoire à densité).

Démonstration. Les points 1, 2, 4 et 5 garantissent queF est une fonction de répartition d'une variable aléatoire réelle.

Les points 2 et 3 assurent ensuite qu'il s'agit d'une variable à densité.

Exemple 1. Soit la fonctionF dénie surR parF(x) = 1

1 +e^−x. Montrer que F est la fonction de répartition d'une variable à densitéX.

(3)

La fonctionF est dérivable sur R par opérations sur les fonctions dérivables, et pour toutx∈R, F⁰(x) = e^−x

(1 +e^−x)²,

qui est continue et positive surR. Les trois premiers points de la caractérisation sont donc bien vériés. De plus, on trouve par calcul direct que lim

x→+∞

1

1 +e^−x = 1 et lim

x→−∞

1

1 +e^−x = 0, d'où le résultat.

Exemple 2. On admet queY =X² est une variable aléatoire. Montrer, en étudiant sa fonction de répartition, que Y est une variable aléatoire à densité.

On commence par calculer la fonction de répartition de Y (qui existe puisqu'on a admis que Y est une variable aléatoire) : soitx∈R,FY(x) =P(Y 6x) =P(X² 6x). Donc si x <0,FY(x) = 0, et si x>0:

F_Y(x) =P(−√

x6X6√

x) =P([X 6√

x]\[X6−√

x]) =F_X(√

x)−F_X(−√

x) = 1

1 +e⁻^√^x − 1 1 +e^√^x, où on a utilisé que X est à densité (ce qui permet de transformer des inégalités strictes en larges) et l'inclusion [X6−√

x]⊂[X 6√ x].

La fonctionF_Y est donc de classeC¹ surR^∗₊ et surR^∗₋, par composée de fonctions usuelles. Donc elle est de classe C¹ surR^∗.F_Y est de même continue sur R^∗. La continuité de l'exponentielle et de la racine en 0donnent :

x→0lim+

F_Y(x) =F_Y(0) = 1 2−1

2 = 0 = lim

x→0−

F_Y(x),

doncF_Y est continue en0, et donc surR tout entier. DoncY est une variable aléatoire à densité.

Rmq : il était inutile ici de vérier les cinq points de la caractérisation de la fonction de répartition d'une variable à densité, puisqu'on sait déjà queF_Y est une fonction de répartition.

1.3 Caractérisation d'une variable à densité par sa densité

SoitX une variable à densité etF sa fonction de répartition. On appelle densité de X toute fonctionf_X dénie sur R et vériant :

1. fX >0,

2. ∀x∈R,fX(x) =F⁰(x), sauf éventuellement en un nombre ni de points.

On dénit alors X(Ω)comme le sous-ensemble deR où fX ne s'annule pas.

Dénition (Densité).

Remarque. SifX est une densité deX, toute fonction obtenue à partir defX en modiant un nombre ni de valeurs (par des valeurs positives) est également une densité deX.X(Ω)peut donc varier (d'un nombre ni de points).

Remarque. F n'est pas forcément dérivable surRtout entier, ce qui signie queF⁰(x)peut ne pas exister en certains points (un nombre ni). D'où la nécessité de pouvoir dénir autrementf_X en un nombre ni de points.

Exemple 3. Donner une densité des variablesX etY dénies dans les exemples 1 et 2, en partant de leur fonction de répartition.

On commence par dériver les fonctions de répartition obtenues. FX est dérivable sur R par composée de fonctions dérivables, et on peut poser∀x∈R,

fX(x) =F_X⁰ (x) = e^−x (1 +e^−x)².

(4)

F_Y est dérivable sur R^∗ et nécessite donc une disjonction de cas : si x <0, on posef_Y(x) =F_Y⁰ (x) = 0, et six >0, fY(x) =F_Y⁰ (x) =

1 2√

xe⁻

√x

(1 +e⁻^√^x)² +

1 2√

xe

√x

(1 +e^√^x)² = 1 2√

x

e⁻

√x

(1 +e⁻^√^x)² + e

√x

(1 +e^√^x)²

! . Il sut de compléter avecf_Y(0) = 0 (par exemple) pour obtenir une densité.

Soit f une fonction dénie surR.f est une densité d'une variable aléatoire à densité si et seulement sif est positive sur R, continue sur R privé éventuellement d'un nombre ni de points et vérie

Z +∞

−∞

f(t)dt= 1.

Proposition (Caractérisation d'une densité d'une variable aléatoire à densité).

Exemple 4. Soitf la fonction dénie parf(x) =xe⁻^x

2

2 pourxpositif et nulle ailleurs. Montrer quef est une densité d'une variableZ.

La fonction est positive surRet continue surR^∗ (on pourrait montrer la continuité en0, mais elle n'est pas nécessaire pour appliquer le résultat). De plus, siA >0,

Z A

−∞

f(x)dx= Z 0

−∞

0dx+ Z A

0

xe⁻^x

2

2 dx= 0 +

−e⁻^x

2 2

A 0

=−e⁻^A

2

2 −(−1)7→_A→+∞1.

Donc l'intégrale converge et vaut1. Donc f est bien une densité de variable aléatoire.

1.4 Propriétés

Soit X une variable à densité,FX sa fonction de répartition et fX une densité, on a pour tout x∈R : FX(x) =

Z x

−∞

fX(t)dt.

Proposition.

Remarque. En conséquence, siX est une variable aléatoire de densitéf_X,Z +∞

−∞

f_X(t)dt= lim

x→+∞F_X(x) = 1.

Soit aetbdeux réels. Sia6b,

P(a6X 6b) =F_X(b)−F_X(a) = Z b

a

f_X(t)dt.

Proposition.

Démonstration. En utilisant successivement le fait que X soit à densité, l'inclusion [X 6a]⊂ [X 6b], l'expression de la fonction de répartition en fonction d'une densité et la relation de Chasles pour les intégrales convergentes, on trouve :

P(a6X6b) =P([X6b]\[X6a]) =FX(b)−FX(a) = Z b

−∞

fX(t)dt− Z a

−∞

fX(t)dt= Z b

a

fX(t)dt.

(5)

Remarque. SiX est une variable aléatoire de densitéfX, on retrouve bien que∀x∈R,P(X=x) = Z x

x

fX(t)dt= 0. Exemple 5. Déterminer la fonction de répartition de la variableZ de l'exemple 4.

Il sut d'intégrer la densité. Soitt∈R, si t60 alorsF_Z(t) =Rt

−∞0dx= 0. Sit >0, on a : F_Z(t) =

Z t

−∞

f(x)dx= Z 0

−∞

0dx+ Z t

0

xe⁻^x

2

2 dx= 0 +

−e⁻^x

2 2

t 0

=−e⁻^t

2

2 −(−1) = 1−e⁻^t

2 2.

1.5 Étude de Y =aX+b

Soit X une variable aléatoire à densité, et Y = aX +b avec a > 0. Alors Y est également une variable aléatoire à densité, et sa fonction de répartition et une densité sont données par : ∀y∈R,

FY(y) =FX

y−b a

, fY(y) = 1 afX

y−b a

. Formule (SiY =aX+bavec a >0).

Démonstration. (démonstration à connaître) ∀y ∈R,[Y 6y]^a>0=

X6 y−b a

∈ A, carXest une variable aléatoire réelle. DoncY est une variable aléatoire.

∀y ∈R,F_Y(y) =P(Y 6y)^a>0= P

X6 y−b a

=F_X

y−b a

. AinsiF_Y est continue surR etC¹ surR privé éventuellement d'un nombre ni de points, par composée de fonctions. Donc Y est une variable à densité.

En dérivant la fonctionF_Y précédente aux pointsy où elle est dérivable, on obtient quef_Y(y) = 1 af_X

y−b a

est une densité deY (en les points de non dérivabilité, qui sont en nombre ni, cette valeur convient également).

Soit X une variable aléatoire à densité, et Y = aX +b avec a < 0. Alors Y est également une variable aléatoire à densité, et sa fonction de répartition et une densité sont données par : ∀y∈R,

F_Y(y) = 1−F_X

y−b a

, f_Y(y) =−1 af_X

y−b a

. Formule (SiY =aX+bavec a <0).

Démonstration. (démonstration à connaître) ∀y ∈R,[Y 6y]^a<0=

X > y−b a

∈ A, carXest une variable aléatoire réelle et par propriétés des tribus. Donc Y est une variable aléatoire.

∀y ∈R,FY(y) =P(Y 6y)^a<0= P

X > y−b a

= 1−P

X < y−b a

Xà densité

= 1−FX

y−b a

. AinsiFY est continue sur R etC¹ surR privé éventuellement d'un nombre ni de points, par composée de fonctions. Donc Y est une variable à densité.

(6)

En dérivant la fonctionF_Y précédente aux pointsyoù elle est dérivable, on obtient quef_Y(y) =−1 af_X

y−b a

est une densité deY (en les points de non dérivabilité, qui sont en nombre ni, cette valeur convient également).

Remarque. On peut regrouper ces deux cas avec la formule suivante :f_Y(y) = 1

|a|f_X

y−b a

.

Remarque. Sia= 0, alorsY =best une variable aléatoire certaine, et n'est donc pas une variable aléatoire à densité.

2 Moments d'une variable aléatoire à densité

2.1 Espérance

SoitXune variable aléatoire de densitéfX. Si l'intégrale Z +∞

−∞

tfX(t)dtest absolument convergente, alors X admet une espérance et E(X) =

Z +∞

−∞

tf_X(t)dt. Dénition (Espérance).

Exemple 6. Montrer que la variable aléatoire dénie dans l'exemple 4 admet une espérance.

On doit vérier la convergence de l'intégrale Z +∞

−∞

|xf(x)|dx = Z +∞

0

x²e⁻^x

2

2 dx, qui est impropre en +∞. Comme tout est positif, il sut de vérier que x²e⁻^x

2

2 = o

1 x²

. C'est bien le cas, car lim

x→+∞x⁴e⁻^x

2

2 = 0 par croissances comparées. Donc la variable aléatoire admet une espérance, donnée par la valeur de l'intégrale. Elle n'est par contre pas simple à calculer.

Exemple 7. On considère la variable aléatoire dont une densité est la fonctionf dénie parf(x) = _x¹2 pourx>1et nulle ailleurs. Montrer que l'on dénit bien ainsi une variable à densitéX et que cette variable aléatoire n'admet pas d'espérance.

Commençons par montrer que f dénit bien une densité. La fonction est positive sur R et continue sur R\ {1}. En reconnaissant une intégrale de Riemann convergente, on trouve :

Z +∞

−∞

f(x)dx= Z +∞

1

x²dx= 1

2−1 = 1.

Donc f est bien une densité de variable aléatoire. Pour déterminer l'existence de l'espérance, on doit vérier la convergence de l'intégrale :

Z +∞

−∞

|xf(x)|dx= Z +∞

1

x 1 x²dx=

Z +∞

1

1 xdx.

C'est une intégrale de Riemann divergente, doncX n'admet pas d'espérance.

Remarque. La densité est toujours positive, donc la convergence deR+∞

−∞ tf_X(t)dtest en réalité susante pour assurer l'existence de l'espérance.

Remarque. Sif est paire, le changement de variable aneu=−t donne : Z +∞

0

tf(t)dt= Z −∞

0

(−u)f(−u)(−1)du=− Z 0

−∞

uf(u)du.

Dans ce cas,E(X) existe si et seulement siR+∞

0 tf(t)dt converge. En cas d'existence, on a de plusE(X) = 0.

(7)

SoitX une variable aléatoire à densité admettant une espérance etaetb deux réels. AlorsaX+b admet une espérance, et :

E(aX+b) =aE(X) +b.

Proposition (Linéarité de l'espérance).

Démonstration. Le résultat découle (via le théorème de transfert pour les variables à densité, qui sera vu en seconde année) de la linéarité des intégrales convergentes et du fait queR+∞

−∞ f(t)dt= 1. 2.2 Variables centrées

SoitX une variable aléatoire à densité admettant une espérance. On dit queX est une variable centrée lorsque E(X) = 0.

Dénition (Variable centrée).

Remarque. SiY = X−E(X)

σ(X) , alors Y est centrée.

En eet, l'espérance existe par linéarité et vautE(Y) = E(X)−E(X) σ(X) = 0.

3 Loi uniforme

3.1 Loi uniforme sur [0,1]

La fonction dénie par f_X(t) =

(1 si t∈[0,1]

0 sinon est une densité d'une variable aléatoire à densitéX. On dit que X suit une loi uniforme sur [0,1]et on note X ,→ U([0,1]).

Dénition (Loi uniforme).

Démonstration. On montre l'existence : la fonction est positive sur R et continue surR\ {0,1}. De plus, Z +∞

−∞

fX(t)dt= Z 1

0

1dt= [t]¹₀= 1−0 = 1.

C'est donc bien une densité de variable aléatoire.

SiX ,→ U[0,1]alorsFX(t) =







0 si t <0 t si t∈[0,1]

1 si t >1

. De plus X admet une espérance etE(X) = 1 2. Proposition (Fonction de répartition et espérance).

(8)

Démonstration. Soitt∈R. Pour déterminer la fonction de répartition, il sut de faire le calculF_X(t) =Rt

−∞f_X(u)du, qui est immédiat sit <0 out >1. Entre 0 et1on a :

F_X(t) = Z t

−∞

f_X(u)du= Z t

0

1du= [u]^t₀=t.

Il ne reste plus qu'à étudier l'espérance.R+∞

−∞ |uf_X(u)|du=R1

0 udu est une intégrale convergente, donc E(X) existe et :

E(X) = Z +∞

−∞

uf_X(u)du= Z 1

0

udu= u²

2 1

0

= 1 2.

3.2 Cas général : loi uniforme sur [a, b] avec a < b

Soit a < bdeux réels. On dit que X suit une loi uniforme sur [a, b]lorsque 1

b−a(X−a),→ U([0,1]). On noteX ,→ U([a, b])et une densité est alors :

f_X(t) =





 1

b−a sit∈[a, b]

0 sinon .

Dénition (Loi uniforme, cas général).

Démonstration. On aX = (b−a)Y +aavec Y ,→ U([0,1]). Par la formule sur les combinaisons linéaires de variables à densité, on obtient queX est une variable à densité, dont une densité est :

∀t∈R, fX(t) = 1 b−afY

t−a b−a

. Orf_Y

t−a b−a

= 1 si _b−a^t−a ∈[0,1]⇐⇒t∈[a, b]etf_Y

t−a b−a

= 0 sinon. D'où le résultat.

Exemple 8. SoitZ ,→ U([0,1]). Déterminer la loi deY = 2Z−4.

La formule précédente donne directementY ,→ U([a, b])avec b−a= 2 eta=−4. Donc Y ,→ U([−4,−2]).

SiX ,→ U[a, b], alors FX(t) =







0 si t < a t−a

b−a si t∈[a, b]

1 si t > b

. De plus,X admet une espérance etE(X) = b+a 2 . Proposition (Fonction de répartition et espérance).

Démonstration. On aX= (b−a)Y +aavecY ,→ U([0,1]), ce qui donne par la formule sur les combinaisons linéaires de variables à densité :∀t∈R :

FX(t) =FY

t−a b−a

=







0 si ^t−a_b−a <0 t−a

b−a si ^t−a_b−a ∈[0,1]

1 si ^t−a_b−a >1

=







0 si t < a t−a

b−a si t∈[a, b]

1 si t > b .

(9)

On obtient ensuite l'existence de l'espérance et sa valeur directement par linéarité : E(X) = (b−a)E(Y) +a= 1

2(b−a) +a= b+a 2 .

3.3 Représentation graphique Densité de probabilité :

• •

a b

1 −

b−a

Fonction de répartition :

a b

1−

4 Loi exponentielle

4.1 Dénition et propriétés

Soit λ ∈R^∗₊. La fonction F dénie sur R par F(t) =

0 si t <0

1−e^−λt si t>0 est la fonction de répartition d'une variable aléatoire à densité X. On dit queX suit une loi exponentielle de paramètreλet on note X ,→ E(λ).

Dénition (Loi exponentielle).

Démonstration. La fonction F est dénie surR et vérie :

F est de classeC¹ surR\ {0}, car la fonction nulle est de classeC¹ surR^∗₋ ett→1−e^−λtest de classe C¹ sur R^∗₊ (par composée de fonctions de classeC¹).

De même,F est continue sur R\ {0}. Elle est de plus continue en 0car lim

t→0(1−e^−λt) = 0 =F(0). DoncF est continue sur R.

F est croissante surR^∗₋ car c'est la fonction nulle. Elle est croissante surR^∗₊ car∀t∈R^∗₊,F⁰(t) =λe^−λt>0. De plus, si y <0etx>0,F(x) = 1−e^−λx>0 =F(y), ce qui permet de gérer le raccord. Donc F est croissante sur R.

lim

x→−∞F(x) = 0 et lim

x→+∞F(x) = 1par composée de limites.

F est donc bien la fonction de répartition d'une variable aléatoire à densité.

(10)

Soitλ∈R^∗₊. Si X ,→ E(λ), alorsfX(t) =

0 si t <0

λe^−λt si t>0 est une densité deX. De plus,X admet une espérance, etE(X) = 1

λ.

Proposition (Densité et espérance).

Démonstration. Il sut de dériver la fonction de répartition (qui est bien dérivable partout, sauf peut-être en0) pour trouver la densité proposée.

Pour l'espérance, on étudie la convergence deR+∞

−∞ |tf(t)|dt=R+∞

0 tλe^−λtdt. Cette intégrale est impropre en+∞. Par croissances comparées,tλe^−λt=o(_t¹2)>0etR+∞

1 1

t²dtconverge (intégrale de Riemann), doncR+∞

0 λte^−λtdtconverge.

DoncX admet une espérance. Il reste par contre à la calculer.

SoitA >0,t→tett→ −e^−λt sont de classeC¹ surR+, donc par intégration par parties : Z A

0

tλe^−λtdt=h

−te^−λtiA 0

− Z A

0

−e^−λtdt=−Ae^−λA+

−e^−λt λ

A 0

=−Ae^−λA−e^−λA λ +1

λ. Or lim

A→+∞

−Ae^−λA−e^−λA λ + 1

λ

= 1

λ (par croissances comparées pour le premier terme). DoncE(X) = _λ¹.

Soit λ∈R^∗₊,X ,→ E(λ)⇐⇒Y =λX ,→ E(1). Proposition.

Démonstration. Soit X ,→ E(λ) et Y = λX. Par propriété des variables aléatoires à densité, Y est également une variable à densité dont une densité est :∀t∈R,fY(t) = ¹_λfX(_λ^t).

Pourt <0, on obtientfY(t) = 0 et pour t>0,fY(t) = ¹_λλe^−λ^λ^t =e^−t. DoncY ,→ E(1). La réciproque se montre de la même façon.

0 λ•

0 1−

(11)

4.3 Absence de mémoire

SiX ,→ E(λ) alors pour tout(x, y)∈(R^∗₊)²,

P_[X>x](X > x+y) =P(X > y). Proposition (Absence de mémoire de la loi exponentielle).

Démonstration. (démonstration à connaître) Si x >0ety >0, on aP(X > x) = 1−F_X(x)^x>0= e^−λx>0, et donc : P_[X>x](X > x+y) = P([X > x+y]∩[X > x])

P(X > x)

y>0

= P(X > x+y)

P(X > x) = e^−λ(x+y)

e^−λx =e^−λy =P(X > y). D'où le résultat.

SoitX une variable aléatoire à densité, à valeur dans R⁺ et qui vérie la propriété d'absence de mémoire.

AlorsX suit une loi exponentielle.

Proposition (Variables aléatoires sans mémoire, réciproque).

5 Loi normale centrée réduite

5.1 Dénition et propriétés

La fonction dénie par : ∀t ∈R,f_X(t) = 1

√2πe⁻^t

2

2 est une densité d'une variable aléatoire à densité X. On dit que X suit une loi normale centrée réduite et on note X ,→ N(0,1).

Dénition (Loi normale centrée réduite).

Remarque. On verra dans un chapitre ultérieur (Convergence des variables aléatoires) que la loi normale centrée réduite est la loi limite (après réduction) de la somme dans une suite innie d'épreuve répétées. Elle est donc souvent utilisée en pratique pour approximer la somme de phénomènes aléatoires petits, nombreux et indépendants.

Pour tout réel t,

F_X(t) = 1

√2π Z t

−∞

e⁻^u

2 2 du.

De plus,FX(−t) = 1−FX(t) et en particulierFX(0) = 1 2. Proposition (Fonction de répartition).

Démonstration. On utilise le changement de variable ane u=−y, (qui joue sur la parité de la densité) : FX(−t) = 1

√ 2π

Z −t

−∞

e⁻^u

2

2 du= 1

√ 2π

Z +∞

t

e⁻^y

2

2 dy= 1

√ 2π

Z +∞

−∞

e⁻^y

2 2 dy−

Z t

−∞

e⁻^y

2 2 dy

= 1−FX(t).

Le cas particuliert= 0 donne alorsFX(0) = 1 2.

(12)

Z +∞

0

e⁻^u

2 2 du=

rπ 2. Formule.

Démonstration. D'après la proposition précédente, 1

2 =FX(0) = 1

√ 2π

Z 0

−∞

e⁻^u

2

2 du. Donc

rπ 2 =

Z 0

−∞

e⁻^u

2

2 du^v=−u= Z +∞

0

e⁻^v

2 2 dv.

SiX ,→ N (0,1), alors X admet une espérance et E(X) = 0. Proposition (Espérance).

Démonstration. (démonstration à connaître) On étudie la convergence deR+∞

−∞ |tf_X(t)|dt, qui est impropre en−∞et +∞. La parité de la densité permet de se contenter de vérier la convergence en+∞. Puisque ^√^t_2πe⁻^t

2

2 =o _t¹2

>0 et queR+∞

1 1

t²dtest une intégrale de Riemann convergente, il y a convergence. DoncXadmet une espérance. La parité de la densité donne alors directementE(X) = 0.

Variante : on pouvait aussi procéder par calcul direct. Soit(A, B)∈R², Z B

A

tf_X(t)dt= Z B

A

√t 2πe⁻^t

2

2dt= 1

√2π

−e⁻^t

2 2

B A

= 1

√2π

e⁻^A

2

2 −e⁻^B

2 2

.

Faire tendreAvers−∞etBvers+∞donne une limite nulle. D'où la convergence de l'intégrale et le résultat annoncé.

0

•

√1 2π

0 1−

−

(13)

6 Loi normale générale, ou loi de Laplace-Gauss

6.1 Dénition

Soit(m, σ)∈R×R^∗₊. On dit queXsuit une loi normale de paramètresmetσ²et on noteX ,→ N m, σ² lorsque ¹_σ(X−m),→ N (0,1). Une densité est alors : ∀t∈R,

f_X(t) = 1 σ√

2πe⁻

(t−m)2 2σ2 . Dénition (Loi normale générale).

Démonstration. On aX =σY+mavecY ,→ N(0,1). Par combinaison linéaire de variables à densité,Xest également une variable à densité, dont une densité est pour toutt∈R :

f_X(t) = 1 σf_Y

t−m σ

= 1

σ√ 2πe⁻

(t−m)2 2σ2 .

D'où le résultat.

6.2 Propriétés

SiX ,→ N m, σ²

, alors pour tout réelt,

FX(t) = 1 σ√

2π Z t

−∞

e⁻

(u−m)2 2σ2 du.

De plus,X admet une espérance, et E(X) =m. Proposition (Fonction de répartition et espérance).

Démonstration. La fonction de répartition deX s'obtient de manière directe, par primitive de sa densité. Pour l'espé- rance, on utilise la relationX=σY +mavecY ,→ N(0,1). La linéarité de l'espérance donne l'existence de l'espérance etE(X) =σE(Y) +m=σ0 +m=m.

m

1 −

σ√ 2π

m 1−