Lois à densité
1. Variable aléatoire suivant une loi à densité I désigne un intervalle (borné ou non) de R
Définition
On appelle densité de pro- babilité sur I toute fonction f dé- finie sur I telle que :
1)f est continue et positivesur I 2) L’aire sous la courbe C de f est égale à 1 u.a.
Définition
f désigne une densité de pro- babilité sur I.
Une variable aléatoire X suit la loi de densité f si, pour tout intervalle
J inclus dans I, la probabilité de l’événement X ∈J est donnée par :
p(X ∈J) =Aire(D) où Dest le domaine sous la courbe Csur l’intervalle J SiJ = [a;b], p(X ∈J) =
Z b
a
f(x)dx
On dit aussi que X est une variable aléatoirecontinue de densité f. 2. Propriétés
Pour tous réels a et b de I : 1) p(X =a) = 0
2) p(X > a) = 1−p(X ≤a) et p(a < X < b) =p(X < b)−p(X ≤a) 3. Espérance mathématique
Soit X une variable aléatoire continue de densité f sur l’intervalle [a;b] alors l’espérance mathématique deX est le réel défini par :
E(X) = Z b
a
tf(t)dt 4. Exercice
1) Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0; 10] par : f(x) = 0,006(10x−x2).
Vérifier quef est une densité de probabilité sur [0; 10].
2) Soit X une variable aléatoire continue ayant f pour densité de probabilité.
Calculer : p(X ≤7) etp(X >6) 3) Calculer l’espérance mathématique E(X) 5. Loi uniforme sur [a ; b]
(a) Définition Soit a etb deux nombres réels tels que a < b.
La loi uniforme sur [a ; b] est la loi ayant pour densité de probabilité la fonction constante f définie sur [a;b] par : f(x) = 1
b−a (b) Propriétés
1) Pour tout réel x appartenant à [a;b] : p(a ≤X ≤x) = x−a b−a 2) E(X) = b+a
Démonstrations Exercice2
1
6. Loi exponentielle (a) Définition
Une variable aléatoire continue T suit une loi exponentielle de paramètre le réel λ >0 si sa densité de probabilité est la fonctionf définie sur[0; +∞[par :
f(x) =λe−λx
Dans ce cas,on a pour t >0 : p(T ≤t) =
Z t
0
λe−λxdx=
−e−λxt
0 = 1−e−λt
p(T > t) =e−λt (b) Remarque (ROC) F
SiT suit la loi exponentielle de paramètre λ alors, pour toutt ≥0et h≥0, on a : pT≥t(T ≥t+h) = p((T ≥t+h)∩(T ≥t))
p(T ≥t) = p(T ≥t+h)
p(T ≥t) = e−λ(t+h)
e−λt =e−λh =p(T ≥h) On dit que T suit une loi de durée de vie sans vieillissement c’est-à dire, si, par exemple, T donne la durée de vie d’un appareil en années alors, sachant qu’il a déjà fonctionné tannées, la probabilité qu’il fonctionnehannées supplémentaires est la même que la probabilité qu’il fonctionne au moins h années à partir de sa première mise en fonction.
(c) Espérance mathématique
Soit X une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de densité f. On définit l’espérance mathématique de X par :
E(X) = lim
t→+∞
Z t
0
xf(x)dx (d) Propriété
Soit X une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre λ >0.
Alors : E(X) = 1 λ Démonstration(ROC) F Soit t≥0.
Pour tout x≥0, xe−λx0
=e−λx−λxe−λx Donc :
Z t
0
xλe−λxdx= Z t
0
e−λxdx− Z t
0
xe−λx0 dx
=
−e−λx λ
t
0
−
xe−λxt 0
= 1
λ − e−λt
λ −te−λt
Quand t tend vers +∞, on obtient :E(X) = 1 λ
2
7. Loi Normale
(a) Loi normale centrée réduite
Une variable aléatoire continue X suit la loi normale centrée réduite si sa den- sité f est définie sur R par :
f(x) = 1
√2πe− x2
2 On note : X suit la loi N(0; 1).
(b) Remarque
La fonctionf estpaire donc sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
On dit que cette courbe est une courbe en cloche oucourbe de Gauss.
(c) Propriétés
Soit X est une variable aléatoire qui suit la loiN(0; 1) i. Pour tout nombre réel u:
p(X ≤ −u) = 1−p(X ≤u) Démonstration
Par symétrie de la courbe en cloche par rapport à l’axe des ordonnées, p(X >−u) =p(X ≤u) et donc : p(X≤ −u) = 1−p(X ≤u)
ii. Pour tout nombre réel α∈]0; 1[, il existe un unique nombre réel positif uα tel que : p(−uα ≤X ≤uα) = 1−α
Démonstration (ROC) F
Pour tout réel t positif, p(−t≤X ≤t) = 2p(0≤X ≤t) = 2 Z t
0
f(x)dx= 2G(t)
oùGest la primitive def surRqui s’annule en 0. La fonction2Gest continue et strictement croissante sur [0; +∞[. On a le tableau de variation ci-dessous :
t 0 +∞
2G 0
1
Si α ∈]0; 1[,1−α aussi.et d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique réel positif uα tel que 2G(uα) = 1−α=p(−uα ≤X ≤uα)
iii. Cas Particuliers à connaître
Pour α= 0,05 une valeur approchée deu0,05 est 1,96 Pour α= 0,01 une valeur approchée deu0,01 est 2,58
u0,05 = 1,96 soit p(−1,96< X < 1.96) ≈0,95 u0,01= 2,58 soit p(−2,58< X <2,58)≈0,99
iv. L’espérance mathématique de X est 0 et sa variance est 1 où la variance de X est définie par :V(X) =E((X−E(X))2)
3
(d) Loi Normale Générale
Soit µun nombre réel et σ un réel strictement positif.
Une variable aléatoire X suit la loi normale de paramètres µ etσ2 si le variable aléatoire Z = X−µ
σ suit la loi normaleN(0; 1).
On dit alors que X suit la loi N(µ;σ2)
i. Propriété Si X suit la loi N(µ;σ2)alors son espérance est µet sa variance σ2 ii. Trois valeurs à connaître
X suit la loi N(µ;σ2)
* p(µ−σ < X < µ+σ)≈0,68
* p(µ−2σ < X < µ+ 2σ)≈0,95
* p(µ−3σ < X < µ+ 3σ)≈0,99
Exercice Vérifier ces résultats à l’aide de votre calculatrice.
iii. Théorème de Moivre-Laplace
Xn est une variable aléatoire qui suit la loi B(n;p) et Zn la variable aléatoire Zn= Xn−E(Xn)
σ(Xn) = Xn−np pnp(1−p)
Pour tous nombres réelsa etbavec a ≤bet sif la densité de probabilité de la loi normale centrée réduite alors
n→lim+∞p(a ≤Zn≤b) = Z b
a
f(t)dt iv. Exemple n= 36, p= 0,5donc np= 18, σ=√
9 = 3
v. Remarque
Si on a n ≥ 30, np ≥ 5, n(1−p) ≥ 5 la loi binomiale B(n;p) est très proche de la loi normale de même espérance np et de même variance np(1−p)
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