TES Lois à densité.

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TL-ES Lois de probabilité

1. Lois à densité.

Définition :

On dit que la variable aléatoire X suit une loi à densité f sur un intervalle I si :

• f est continue et positive sur I.

• Pour tous réels a et b de I, P( a  X  b) =

∫

a b

f(x)dx

Propriétés :

Soit X une variable aléatoire suivant une loi à densité f sur un intervalle I, alors :

•

∫

I

f(x)dx = 1

• Pour tout réel a de I, P ( X = a ) = 0

• Pour tout réel a de I, P ( X < a ) = P ( X  a )

Définition :

Soit X une variable aléatoire suivant une loi à densité f sur un intervalle I, alors l'espérance mathématique est donnée par E(X) =

∫

I

x f (x)dx.

2. Loi uniforme u (a ; b).

Définition :

On dit que la variable aléatoire X suit une loi uniforme sur un intervalle [ a ; b ] en utilisant la fonction qui vaut 1

b−a ; la probabilité d'obtenir un nombre compris entre c et d est l'aire du rectangle délimité par l'axe des abscisses, la courbe et les droites d'équations x = c et x = d.

On a P (c ≤ X ≤ d) = (d – c)  1 b−a . Remarque :

On peut simuler une loi uniforme sur un tableur avec la formule = a + (b – a)* ALEA()

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Propriétés :

Soit X une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur un intervalle [ a ; b ] alors E ( X ) = a+b

2 .

3. Loi normale centrée réduite :

Définition :

On dit que la variable aléatoire X suit une loi normale centrée réduite sur  si sa loi de densité est f(x) = 1

√

²^π ^e⁻

x²

2 . On la note n(0 ; 1).

Représentation graphique :

Remarques :

• Le maximum est atteint en f(0) = 1

√

²^π ^.

• La courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

• L'aire sous la courbe est égale à 1, c'est-à-dire _−∞

∫

^+∞ ^f ⁽^x^)d^x^{= 1.}

• Les calculatrices donnent directement P( a  X  b) : Casio : Menu stat, dist, NCD, a, b,  puis .

TI : 2nd Dist, NormalFrep, a, b,  puis .

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4. Lois normales :

Définition :

On dit que la variable aléatoire X suit une loi normale n( μ ; σ² ) sur  si X−μ

σ suit la loi normale n(0 ; 1).

Propriété :

Si une variable aléatoire suit une loi normale n( μ ; σ² ) alors son espérance est μ, sa variance σ² et son écart-type σ.

Les intervalles à « un, deux ou trois sigmas » :

X est une variable aléatoire qui suit une loi normale n( μ ; σ² ) P(μ−σ ≤ X ≤ μ+σ) ≈ 0,68

P(μ−2σ ≤ X ≤ μ+2σ) ≈ 0,95 P(μ−3σ ≤ X ≤ μ+3σ) ≈ 0,977

Importance de la valeur de σ :

Toutes les lois normales ont pour densité une fonction dont la courbe représentative est « en cloche ». Selon la valeur de σ, le maximum est plus ou moins grand et la « cloche » est plus ou moins élargie.

Propriété :

Si une variable aléatoire suit une loi binomiale b(n ; p) alors il est possible de l'approcher par une loi normale n( μ ; σ² ) ayant la même espérance et le même écart-type σ.

On a μ = np et σ =

√

^np(1^{– p)}