TSTTI2D Chapitre Lois à densité.

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Terminale STI2D Lois de probabilité

1. Loi uniforme u (a ; b).

Définition :

On dit que la variable aléatoire X suit une loi uniforme sur un intervalle [ a ; b ] en utilisant la fonction qui vaut 1

b−a ; la probabilité d'obtenir un nombre compris entre a et b est l'aire du rectangle délimité par l'axe des abscisses, la courbe et les droites d'équations x = a et x = b.

On a P (c ≤ X ≤ d) = (d – c)  1 b−a . Remarque :

On peut simuler une loi uniforme sur un tableur avec la formule = a + (b – a)* ALEA()

Propriétés :

Soit X une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur un intervalle [ a ; b ] , alors

• E ( X ) = a+b 2

• V(X) = (b−a)² 12 .

2. Loi exponentielle : Définition :

On appelle loi exponentielle de paramètre  la loi continue admettant pour densité la fonction f définie sur ⁺ par f(x) =  e^{- t} où  est un réel positif fixé.

Pour cette loi, la probabilité d’un intervalle [ c ; d ] inclus dans ⁺ est égale à : P (c ≤ T ≤ d) =

∫

c d

λe⁻^λtdt = e^{- λc} – e^{- λd} . Remarque :

La courbe commence au point (0 ; ).

Propriété :

Soit X une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre  > 0, alors : E ( X ) = 1

λ .

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3. Lois normales :

Propriété :

Si une variable aléatoire suit une loi normale n( μ ; σ ) alors son espérance est μ et son écart-type σ.

Les intervalles à « un, deux ou trois sigmas » :

X est une variable aléatoire qui suit une loi normale n( μ ; σ ) P(μ – σ ≤ X ≤ μ + σ) ≈ 0,68

P(μ – 2σ ≤ X ≤ μ + 2σ) ≈ 0,95 P(μ – 3σ ≤ X ≤ μ + 3σ) ≈ 0,99

Importance de la valeur de σ :

Toutes les lois normales ont pour densité une fonction dont la courbe représentative est « en cloche ». Selon la valeur de σ, le maximum est plus ou moins grand et la « cloche » est plus ou moins élargie.

Propriété :

Si une variable aléatoire suit une loi binomiale b(n ; p) alors il est possible de

l'approcher par une loi normale n( μ ; σ ) ayant la même espérance et le même écart- type σ.

On a μ = np et σ =

√

^np(1^{– p)}