II LOI UNIFORME SURrA, Bs.
Chapitre 7 : Lois à densité.
I Exemples.
Exercice 1. Voir séance du lundi 11 mars.
Remarque 1. Dans l’exemple précédent, la loi de probabilité de la variable Xest dite loi à densité de densité f. La fonctionFpxq “PpXďxqest appelée la fonction de répartition de X.
Exercice 2. Voir séance du lundi 11 mars.
Pour une variable aléatoire X, de densité f, on définie la probabilité d’être sur un intervalle ra, bs par :
PpaďXďbq “ żb
a
fptqdt Définition 1
‚ Exemple 1 de loi à densité ‚ Exemple 2 de loi à densité Vidéo 1
II Loi uniforme sur r a, b s.
A Introduction.
Exercice 3. Dans cet exercice, on considère la fonction densité définie sur Rpar : fpxq “
$
&
%
0 si xă0 0,5x si 0ďxď2
0 si xě2
On noteX la variable aléatoire de densitéf. On a la représentation graphique :
Déterminer les valeurs des probabilités suivantes : a) Pp´1ďXď0q
b) Pp0ďXď1q
c) Pp´1ďXď1q d) PpX ď1q
e) PpXě1q f) PpXě2q Exercice 4. Dans cet exercice, on considère la fonction densité définie sur Rpar :
fpxq “
$
&
%
0 si xă0 0,5 si 0ďxď2
0 si xě2
On noteX la variable aléatoire de densitéf. On a la représentation graphique : 1
B Définition. II LOI UNIFORME SURrA, Bs.
Déterminer les valeurs des probabilités suivantes : a) Pp´1ďXď0q
b) Pp0ďXď1q
c) Pp´1ďXď1q d) PpX ď1q
e) PpXě1q f) PpXě2q
B Définition.
On dira d’une variable aléatoire à densité X quelle suit la loi uniforme surra;bs, si sa densitéf est une fonction constante définie sur ra;bs.
Définition 2
C Densité de la loi uniforme.
La densité de la loi uniforme uniforme sur ra;bsest la fonction f définie sur sur ra;bspar : fpxq “ 1
b´a Proposition 1
Exemple 1. Voir exercice 4.
D Propriétés de la probabilité.
SiX est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur ra;bs. Sirc;ds P ra;bsalors : PpXP rc;dsq “ d´c
b´a Proposition 2
exemple Vidéo 2
2
E Espérance. III LOI NORMALE.
E Espérance.
L’espérance d’une variable aléatoire X de densitéf surra;bsest le nombre réel : EpXq “
żb
a
tfptqdt Définition 3
SiX est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur ra;bs. Alors : EpXq “ a`b
2 Proposition 3
Exemple 2. Pour l’exercice 4 l’espérance est donc 1.
III Loi normale.
A Loi normale centrée réduite.
On dira d’une variable aléatoire à densité T quelle suit la loi normale centrée réduite, notéeNp0; 1q, si sa densitéf est la fonction :
fpxq “ 1
?2π ˆe´t
2 2
Définition 4
SiT suit la loi normale centrée réduite, alors :
• EpTq “0
• PpT ď0q “PpXě0q “0,5
• SitPRalors PpT ď ´tq “1´ppT ďtq Proposition 4
B Loi normal N p µ; σ q.
Une variable aléatoire X suit une loi normale de paramètreµ etσ si la variable T “ X´µ
σ si la loi normale centré réduite.
On note X„Npµ;σq. Définition 5
SiX „Npµ;σq alors l’espérance de X estµ.
Proposition 5
3
C A la calculatrice. III LOI NORMALE.
Remarques sur les lois normales Vidéo 3
C A la calculatrice.
Si l’on note X le temps d’attente à un guichet à la poste et que l’on sait que X suit une loi normale de paramètre Np4; 1q. On souhaite déterminer la probabilité qu’une personne attente entre 2 et 5 minutes.
avec la TI Avec la Casio.
Pour déterminer une probabi- lité.
"2nde" et "VAR/Distrib" puis saisir normalFRéq(2,5,1,4)
"OPTN" puis "STAT" puis "DIST"
puis "NORM" enfin "NCD" puis sai- sir NormCD(2,5,1,4)
Pour résoudre :
. PpXďαq “0,95 (par exemple.)
"2nde" et "VAR/Distrib" puis saisir normalFRéq(70,100,80,14)
"OPTN", puis dans l’ordre "STAT",
"DIST" "NORM" et "Ncd" puis saisir NormCD(70,100,14,80)
‚ Loi centrée réduite.
‚ Loi normale quelconque
‚ Exemple.
Vidéo 4
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