Chapitre X : Lois à densité I - Variables aléatoires à densité 1)

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Chapitre X : Lois à densité

I - Variables aléatoires à densité

1) Variables aléatoires et densité

Considérons une expérience aléatoire dont l’univers Ω (ensemble des issues possibles) est muni d’une probabilité .

Définition 1 : Une variable aléatoire définie sur Ω, qui peut prendre comme valeurs tous les nombres réels d’un intervalle de ℝ, est dite continue. On note Ω = l’ensemble des valeurs prises par . Exemple : On peut définir une variable aléatoire qui, à chaque appel à un standard téléphonique d’un service client associe le temps d’attente avant d’être mis en relation avec un conseiller client.

Cette durée n’est pas nécessairement un nombre entier de minutes (ou d’heures …) et on ne peut pas théoriquement donner la durée maximale de temps d’attente (on ne tient pas compte des clients ayant raccroché avant …) : cette variable aléatoire est donc continue et l’intervalle est 0; +∞

(0 est accepté en théorie mais on peut toujours rêver …).

Remarque : Pour tout calcul de probabilité lié à une variable continue, il est nécessaire de faire appel à une fonction définie sur ℝ, appelée densité.

Définition 2 : On appelle densité de probabilité, ou densité, toute fonction définie sur ℝ, et telle que :

∗ est positive sur ℝ : ∀ ∈ ℝ, ≥ 0

∗ est continue sur ℝ (sauf éventuellement en un nombre fini de points)

∗ L’aire du domaine délimité par la courbe représentative de dans un repère orthogonal et l’axe des abscisses est égale à 1 (en unité d’aire).

2) Probabilité d’un événement

Définition 3 : Soit une variable aléatoire définie sur Ω, continue et de densité .

La probabilité de l’événement ∈ notée ∈ , où est un intervalle de ℝ, est l’aire du domaine défini par : ; tels que ∈ et 0 ≤ ≤ ".

Exemples :

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2 Remarques :

1) Le troisième point de la définition 2 peut se traduire par ∈ ℝ = 1

2) Une densité étant positive, si elle est continue sur $; %, la probabilité ∈ $; % = $ ≤ ≤ % peut s’interpréter par une intégrale :

$ ≤ ≤ % = & 'd'⁾

*

Propriété 1 : Soit une variable aléatoire définie sur Ω, continue et de densité et + un nombre réel.

La probabilité de l’événement = + est nulle : = + = 0. Conséquence pratique :

Dans le calcul de probabilité d’un événement ∈ , les éventuelles inégalités larges peuvent être remplacées par des inégalités strictes et inversement.

À titre d’exemple : $ ≤ ≤ % = $ < ≤ % = $ ≤ < % = $ < < % Exemple :

La production quotidienne d’un produit en tonnes est une variable aléatoire continue qui prend ses valeurs dans l’intervalle 0; 10 avec la densité de probabilité définie par :

= 0,00610 − ^/ si ∈ 0; 10 et = 0 sinon a) Vérifier que est bien une densité de probabilité.

b) Calculer la probabilité des événements 3 : « ≤ 7 » et 5 : « La production quotidienne dépasse 6 tonnes »

c) Calculer la probabilité de l’événement 6 : « La production quotidienne est comprise entre 6 et 7 tonnes »

3) Espérance

Définition 4 : Soit une variable aléatoire définie sur Ω, continue, de densité et Ω = . - Si = $; %, alors admet pour espérance :

7 = & ' × 'd'⁾

*

- Si = $; +∞ , alors admet pour espérance :

7 = lim_:→<=& ' × 'd'^:

*

- Si = −∞; %, alors admet pour espérance :

7 = lim_:→>=& ' × 'd'⁾

:

- Si = ℝ , alors admet pour espérance :

7 = lim_:→>=& ' × 'd'^?

: + lim_@→<=& ' × 'd'^@

?

Exemple :

Calculer l’espérance de la variable aléatoire de l’exemple précédent.

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3 4) Fonction de répartition

Définition 5 : Soit une variable aléatoire définie sur Ω, continue et de densité .

La fonction de répartition associée à la variable aléatoire est la fonction A définie sur ℝ par :

A = ≤ = ∈ −∞;

Remarques :

1) D’après la propriété 1, on peut écrire que A = ≤ = <

2) Pour tout ∈ ℝ, 0 ≤ A ≤ 1

3) A est une fonction continue et croissante sur ℝ. Exemple :

On peut démontrer que la fonction de répartition de la variable aléatoire définie précédemment est définie par :

A = BC D

CE 0 si < 0 0,0215^/− ^H si ∈ 0; 10

1 si > 10 J

II - Loi uniforme

Soient $ et % deux nombres réels tels que $ < %.

Définition 6 : On dit que la variable aléatoire suit une loi uniforme sur l’intervalle $; % lorsque sa densité est définie sur ℝ par :

= K 1

% − $ si ∈ $; % 0 sinon

J

On note : suit la loi L $; % ou encore ↪ L $; %. Remarques :

1) La fonction est nulle en dehors de $; %, la variable aléatoire prend donc ses valeurs dans l’intervalle $; %.

2 Pour $ ≤ P ≤ Q ≤ %, P ≤ ≤ Q = & d^R

S = Q − P

% − $

Exemple : Choisir un réel au hasard dans l’intervalle $; % se modélise par la loi uniforme sur $; %. Si est la variable aléatoire représentant le réel choisi au hasard dans l’intervalle $; %, alors

↪ L $; %.

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Propriété 2 : Si ↪ L $; %, alors sa fonction de répartition A est définie par :

∀ ∈ ℝ, A = ≤ = BC D

CE 0 si < $ − $

% − $ si ∈ $; % 1 si > %

J

Propriété 3 : L’espérance d’une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur l’intervalle $; % est donnée par :

7 =$ + % 2

Exemple :

La variable aléatoire qui, à chaque appel à un standard téléphonique d’un service client, associe le temps d’attente en minutes avant d’être mis en relation avec un conseiller client, suit une loi uniforme sur

l’intervalle 2; 20 (On considère que l’appel est renvoyé sur un répondeur après 20 minutes d’attente).

a) Définir la densité associée à la variable aléatoire .

b) Quelle est la probabilité que le temps d’attente soit inférieur à un quart d’heure ? c) Quel est le temps d’attente moyen ?

III - Loi exponentielle

Définition 7 : Soit T un réel strictement positif.

On dit que la variable aléatoire suit une loi exponentielle de paramètre T lorsque sa densité est définie sur ℝ par :

= U 0 si < 0 Te^>V: si ≥ 0 J

On note : suit la loi ℰT ou encore ↪ ℰT. Remarques :

1) La fonction est nulle sur l’intervalle −∞; 0 , la variable aléatoire prend donc ses valeurs dans l’intervalle 0; +∞ .

2) Le point d’abscisse 0 de la courbe représentative de la densité a pour ordonnée T, c’est-à-dire le paramètre de la loi exponentielle.

3 Pour 0 ≤ $ ≤ %, $ ≤ ≤ % = & d⁾

* = e^>V*− e^>V)

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5 Propriété 4 : Soit T un réel strictement positif.

Si ↪ ℰT, alors sa fonction de répartition A est définie par :

∀ ∈ ℝ, A = ≤ = U 0 si < 0 1 − e^>V: si ≥ 0

J

Remarque : ∀ ∈ ℝ, > = ≥ = e^>V:

Propriété 5 : Soit T un réel strictement positif.

L’espérance d’une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre T est donnée par : 7 =1

T

Exemple :

La durée d’attente, en minutes, au départ d’une remontée mécanique dans une station de sports d’hiver en période de vacances scolaires est une variable aléatoire Y qui suit la loi exponentielle de paramètre T = 0,05.

a) Calculer, en minutes, le temps moyen d’attente au départ de cette remontée mécanique.

b) Calculer, à 10^>/ près, la probabilité d’attendre moins de 30 minutes, puis entre 10 et 30 minutes.

c) Un skieur arrive à la remontée mécanique. Un panneau indique que le temps d’attente est d‘au moins 10 minutes. Calculer, à 10^>/ près, la probabilité qu’il soit inférieur à 30 minutes.

Propriété 6 : Durée de vie sans vieillissement Soit T un réel strictement positif.

Si ↪ ℰT, alors pour tous réels ' et ℎ positifs, \]^ ≥ ' + ℎ = ≥ ℎ. IV - Loi normale

1) Loi normale centrée réduite

Définition 8 : On dit que la variable aléatoire suit une loi normale centrée réduite lorsque sa densité est définie sur ℝ par :

= 1

√2`e^{> :}^/^a

On note : suit la loi b0; 1 ou encore ↪ b0; 1.

Remarques :

1) Il est impossible de déterminer des primitives de à l’aide des fonctions usuelles. La fonction de répartition existe mais n’a pas d’écriture explicite comme avec les autres lois étudiées précédemment.

2) La fonction est paire, sa courbe est donc symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

3) L’aire du domaine situé sous la courbe et au-dessus de l’axe des abscisses vaut 1. Par symétrie, l’aire du domaine limité par l’axe des ordonnées vaut 0,5 de chaque côté : ≤ 0 = 0,5 = ≥ 0

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Propriété 7 : Soit une variable aléatoire de loi normale centrée réduite.

Alors 7 = 0.

Remarque :

Comme dans le cadre des variables aléatoires discrètes, on définit la variance et l’écart-type de : La variance de est notée c et peut se définir par c = 7 − 7².

L’écart-type est noté e et défini par e = fc

Vocabulaire :

Le premier paramètre de l’écriture b0; 1 correspond à l’espérance de , 7 = 0 : on dit que la variable aléatoire est centrée.

Le deuxième paramètre de l’écriture b0; 1 correspond à l’écart-type de , e = 1 : on dit que la variable aléatoire est réduite.

Théorème de M^OIVRE-L^APLACE :

Soit g un entier naturel non nul et h un réel fixé appartenant à l’intervalle 0; 1 . Soit _i une variable aléatoire de loi binomiale ℬg; h.

Notons k_i la variable aléatoire liée à _i et définie par : k_i = _i− gh

fgh1 − h Alors, pour tous réels $ et % tels que $ < % :

l→<=lim $ ≤ k_i ≤ % = & 1

√2`e^{> :}^/^aQ

)

*

Remarque : Ce théorème est un théorème fondamental en probabilités : il permet, sous certaines

conditions sur g et h, lorsque le nombre g d’épreuves augmente, d’approcher une loi binomiale par la loi normale centrée réduite.

Propriété 8 : Soit une variable aléatoire de loi normale centrée réduite.

Pour tout réel m ∈ 0; 1 , il existe un unique réel positif n_o tel que :

−n_o≤ ≤ n_o = 1 − m

Cas particuliers classiques : Pour m = p, pq, n_o ≈ s, tu Pour m = p, ps, n_o ≈ v, qw

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7 2) Loi normale

Définition 9 : On dit que la variable aléatoire suit la loi normale d’espérance x et d’écart-type e lorsque la variable aléatoire continue ^∗ =^\>y_z suit la loi normale centrée réduite.

On note : suit la loi bx; e^/ ou encore ↪ bx; e^/. Remarques :

1) La densité (hors programme) associée à une variable aléatoire suivant la loi normale d’espérance x et d’écart-type e est la fonction définie pour tout réel par :

= 1

e√2`e^{> {/ |}^:>y^{z }}^a

2) Pour tout réel , x − = x + : la courbe de (en « cloche » elle aussi) est donc symétrique par rapport à la droite d’équation = x.

3) L’écart-type e a un impact sur la forme de la courbe de : plus il est petit et plus la « cloche est haute ».

Propriété 9 : Soit une variable aléatoire continue de loi normale bx; e^/.

1) La probabilité de l’événement x − e ≤ ≤ x + e est approximativement égale à 0,68.

2) La probabilité de l’événement x − 2e ≤ ≤ x + 2e est approximativement égale à 0,95.

3) La probabilité de l’événement x − 3e ≤ ≤ x + 3e est approximativement égale à 0,99.