TSTTI2D Chapitre Lois à densité.

Correction des exercices sur le calcul intégral Ex 11, 12, 13 et 14 P 219

Exercice 11 p 219.

Densité : f(x) = 1 e ^{– 1x} P(X < 1)  0,6

Densité : f(x) = 3 e ^{– 3x} P(X > 0,5)  0,2

Densité : f(x) = 2 e ^{– 2x} P(0,25 < X < 1)  0,5

Exercice 12 p 219.

P(X < 1) =

∫

0 1

2e^−2xdx = [−e^−2x]₀¹

= – e ^{– 2  1} – (– e ^{– 2  0}) = 1 – e ^{– 2}

 0, 87.

P(X < 0,1) =

∫

0 0,1

100e^−100xdx = [−e^−100x]₀^0,1

= – e ^{– 100  0,1} – (– e ^{– 100  0}) = 1 – e ^{– 10}

 0, 99995.

P(X < 10) =

∫

0 10

0,1e^−0,1xdx = [−e^−0,1x]₀¹⁰

= – e ^{– 0,1  10} – (– e ^{– 0,1  0}) = 1 – e ^{– 1}

 0,63.

Exercice 13 p 219.

1. P(X < 1) = 1 – P(X ≥ 1). Vraie.

2. P(X < 1) = 1 – P(X > 2). Fausse.

3. P(X = 1) = 0. Vraie.

4. P(X < 1) = P(X ≤ 1). Vraie.

5. P(X < 1) = 1 – P(X > 1). Vraie.

Exercice 14 p 219.

1. On déduit de l’étude statistique que la probabilité que le composant dure moins de 200 semaines est environ de 50 %.

On écrit alors P(X < 200) =

∫

0 200

λ^e−λxdx

= – e^–200λ + 1 ≈ 0,50.

donc e^–200λ = 0,50 et – 200λ = ln 0,50 = – ln 2.

Ainsi λ = ln 2 200 .

2. P(X > 300) = 1 – P(X < 300) = 1 –

∫

0 300

λ^e−λxdx = e^–300λ.

Pour trouver p(X > 300) = 0,35 , il suffit de remplacer λ par la valeur trouvée précédemment.