Lois de probabilités à densité
DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE
Blaise Pascal
septembre 2016
Sommaire
1. Lois à densité dites lois continues
2. Premier exemple : la loi uniforme
3. Deuxième exemple : la loi exponentielle
Dans ce paragrapheI désigne un intervalle (borné ou non) deR.
Définition 1 (Densité de probabilité)
On appelledensité de probabilitésurItoute fonctionf définie surI telle que f est continue surI (éventuellement par morceaux).
f est positive surI.
Z
I
f(x)dx= 1
1 u.a.
y
Cf
Z
I
f(x)dx= 1
Remarque
LorsqueI est non borné, par exempleI=
0 ; +∞
, alors : Z
I
f(x)dx= lim
M→+∞
Z M
0
f(x)dx On « ose » alors, lorsque la limite existe et est finie, écrire
Z +∞
0
f(x)dx.
C’est une intégrale dite généralisée (notion abordée dans le supérieur).
Exercice 1
1.
Soitf la fonction définie sur h 0 ; π2 i
parf(x) = cosx.
Démontrer quef est une densité de probabilité surh 0 ; π
2 i.
2.
Soitgla fonction définie sur1 ; +∞
parg(x) = 1 x2. Démontrer quegest une densité de probabilité sur
1 ; +∞
.
Exercice 2
Soitf la fonction définie sur 0 ; 1
parf(x) =ax(1−x)2.
Déterminerapour que la fonctionf est une densité de probabilité sur 0 ; 1
.
Définition 2
Soitf une densité de probabilité surI.
Dire qu’une variable aléatoireX suit la loi de densité f surI signifie qu’à tout intervalleJ inclus dansI, on associe la probabilité :
P(X ∈J) = Z
J
f(x)dx
1 u.a.
x y
J
Cf P(X∈J) =
Z
J
f(x)dx
Remarque
L’événementX ∈J signifie queX prend toutes les valeurs de l’intervalleJ. Cette notation est abusive mais elle prolonge la notationX=adéjà utilisé précédemment.
On utilisera également les notationsa6X6b, X > a,X 6b, etc. oùaet bappartiennent à I.
La fonction densitéf est positive surIdonc pour toutJ ⊂I, on a P(X ∈J)>0 d’après la positivité de l’intégrale. Comme
Z
I
f(x)dx= 1, alorsP(X ∈J)61.
Les probabilités seront donc toujours des valeurs comprises entre 0 et 1.
pour touta∈I, on a P(X =a) = 0 car Z a
a
f(x)dx= 0.
Exercice 3
1.
SoitX la variable aléatoire qui suit la loi de probabilité de densitéf définie à l’exercice 1. CalculerPπ6 6X6 π 4
.
2.
SoitY la variable aléatoire qui suit la loi de probabilité de densitég définie à l’exercice 1. CalculerP(Y <4) etP(Y >10).Définition 3 (Espérance mathématique)
SoitX un variable aléatoire qui suit une loi de probabilité de densitéf surI.
L’espérance mathématique deX, notéeE(X), est définie par : E(x) =
Z
I
xf(x)dx
Exercice 4
1.
SoitF la fonction définie surR+ parF(x) = 1−(1 +x)e−x. Calculer la dérivéef deF.2.
1 Démontrer quef est une densité de probabilité.2 SoitX une variable aléatoire à valeurs dansR+, de densitéf. CalculerP(1≤X <2).
3.
1 Déterminer les réels,α,βetγ tels que la fonctionGdéfinie par G(x) = αx2+βx+γe−x soit une primitive de la fonctionx7→xf(x).
2 En déduireal’espérance deX.
a. On aura besoin d’utiliser le résultat suivant, que l’on admet : lim
M→+∞
M2 eM = 0.
Sommaire
1. Lois à densité dites lois continues
2. Premier exemple : la loi uniforme
3. Deuxième exemple : la loi exponentielle
Définition 4
Soientaetbdeux réels tels quea < b.
On dit que la variable aléatoireX suit laloi uniformesur l’intervalle a;b
si elle admet pour densité de probabilité la fonctionf définie par :
f(x) = 1 b−a
x y
a b
1 b−a
Notation
X ∼U a;b
Exercice 5
Vérifier que la fonctionf ainsi définie est bien une densité de probabilité.
Exemple
Le temps d’attente à une station de métro suit une loi uniforme sur 0 ; 3
si un métro passe toutes les trois minutes.
Remarque
Il existe une infinité de lois uniformes, la seule connaissance de l’intervalle permet de déterminer la densité associée à la loi uniforme.
Exercice 6
1.
Déterminer les fonctions densités associées aux lois uniformes suivantes :1 X∼Uh
1 ; 3i
2 X∼Uh
−2 ; 5i
3 X∼Uh
0 ; 2i
4 X∼Uh
−2 ; 2i
2.
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou si elle est fausse.Justifier.
Questions Réponses
1.Deux lois uniformes peuvent avoir des densités qui ont les mêmes expressions.
V F 2.On peut définir une loi uniforme sur
l’intervalle 0 ; +∞
.
V F
Propriété 1
Soientαetβ deux réels de a;b
avec α < β.
AlorsP(α6X 6β) = β−α
b−a =longueur de α;β longueur de
a;b.
Démonstration
À faire.
Propriété 2
SoitX une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur a;b
avec a < b.
Alors l’espérance mathématiquede X estE(X) = a+b 2 .
Démonstration
À faire.
Exercice 7
La durée de communication téléphonique entre Alice et Bob ne dépasse jamais 2 heures et on suppose que sa durée exacte, en heures, est une variable aléatoire de densitéf qui suit une loi uniforme sur
0 ; 2 .
1.
Alice appelle Bob au téléphone.Déterminer la probabilité que la durée de communication soit :
1 au plus égale à 1 h 15 min.
2 au moins égale à 20 min.
3 comprise entre 45 min et 1 h 20 min.
2.
Déterminer la durée moyenne d’une communication téléphonique entre Alice et Bob.Exercice 8
Le temps d’attente à un guichet de gare, exprimé en minutes, est une variable aléatoireX qui suit une loi uniforme sur un intervalle
a;b . Détermineraetb sachant que :
Le temps moyen d’attente est de 6 minutes.
60% des voyageurs ont un temps d’attente supérieur à 5 minutes.
Sommaire
1. Lois à densité dites lois continues
2. Premier exemple : la loi uniforme
3. Deuxième exemple : la loi exponentielle
Définition 5
On dit qu’une variable aléatoireX suit la loi exponentielle de paramètreλ >0 si elle admet pour densité la fonctionf définie par :
f(x) =λe−λx
x y
λ
Notation
X ∼E (λ)
Exercice 9
Vérifier que la fonctionf ainsi définie est bien une densité de probabilité.
Exemple
La durée de vie d’un composant électronique est modélisée par une loi exponentielle.
Propriété 3
SoitX une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre λ >0.
Alors, pour toust ethpositif, on a :
PX>t(X >t+h) =P(X >h)
On dit alors qu’une loi exponentielle est une loi à durée de vie sans vieillissement.
Démonstration
À faire.
Exercice 10
Les questions suivantes sont indépendantes.
1.
La duréeX (en heures) d’un match de tennis suit la loi exponentielle de paramètre 0,34.Quelle est la probabilité que le match dure plus de 5 heures ?
2.
Déterminer la valeur du paramètreλde la densitéf :t7→λe−λtsachant que la loi de probabilité définie parf vérifieP0 ; 4
= e2−1 e2 .
Exercice 11
SoitX une variable aléatoire de densitéf, suivant la loi exponentielle de paramètreλ.
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou si elle est fausse.
Justifier.
Questions Réponses
1.Il existe un unique réelatel que
P(X > a) =P(X6a)et ce réel est égal à ln 2 lnλ.
V F 2.SiXvérifieP(X>5) =1
4alors PX>2(X>7) =1
4.
V F
Propriété 4
X ∼E (λ)où λest un réel strictement positif.
Soientαetβ deux réels positifs tels queα6β.
P(X6α) = 1−e−λα
P(X>α) =e−λα P(α6X6β) =e−λα−e−λβ
Démonstration
À faire.
Exercice 12
D’après une étude statistique sur la durée d’attente, en minute, aux vingt caisses d’un hypermarché :
six caisses ont une durée d’attente qui suit une loi exponentielle de paramètre λ= 0,05;
les autres caisses ont une durée d’attente qui suit la loi exponentielle de paramètreµ= 0,1.
Un client choisit une caisse au hasard. On noteT sa durée d’attente exprimée en minute.
1.
On désigne partun nombre positif. On se propose de déterminerP(T 6t).1 Représenter la situation par un arbre pondéré.
2 En déduireP(T 6t).
2.
Calculer à10−3 près la probabilité que le client attende :1 moins d’un quart d’heure ;
2 plus de 10 minutes ;
3 entre 5 et 20 minutes.
Propriété 5
SoitX une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre λ >0.
Alors l’espérance mathématiquede X estE(X) = 1 λ.
Démonstration
Indication :
1.
SoitM ∈0 ; +∞
.
Calculer, en fonction deM, l’intégrale Z M
0
λxe−λxdx en cherchant une primitive deg:x7→λxe−λx sous la forme d’une fonction
« polynôme-exponentielle »G:x7→(ax+b)e−λx.
2.
En déduireE(X).Remarque
La variance d’une variable aléatoireX estV(X) =E (X−E(X))2 . SiX suit la loi exponentielle de paramètreλ >0 alorsV(X) = 1
λ2 (hors-programme).
Exercice 13
SoitX une variable aléatoire suivant une loi exponentielle d’espérance 1000.
Déterminer la densité de probabilité deX puis calculerP(X 65).