Complément sur les lois à densité.
On considère X „Npµ;σ2q, et T „Np0; 1q.
I Que peut-on déduire, si l’on connait P pX ď aq.
A Détermination de a connaissant P p X ď a q .
avec la TI Avec la Casio.
Trouver aavec PpXďaq “α
"2nde" et "VAR/Distrib" puis saisir : InvNormCD(α,σ,µ)
"OPTN", puis dans l’ordre "STAT",
"DIST" "NORM" et "InvN" puis saisir InvNormCD(α,σ,µ)
B Déterminer µ (espérance) ou σ (écart type) connaissant P pX ď aq.
1 Si l’on connait l’espérance : µ.
Soit X„Np5;σq, et PpXď6,5q “0,95.
1ière étape : On se "ramène" à la normale centrée réduite.
On a T “ X´µ
σ “ X´5
σ suit la loi normale centré réduite : PpX ď6q “P
ˆX´5
σ ď 6,5´5 σ
˙
“P ˆ
T ď 1,5 σ
˙
“0,95
2ième étape : Utilisation de InvNormale.
Avec la machine InvN ormalp0.95,1,0q »1,6449.
3ième étape : détermination de σ.
On obtient donc : 1,5
σ »1,6449ôσ » 1,5
1,6449 »0,9119 Méthode 1
2 Si l’on connait l’écart type σ.
Soit X„Npµ; 2q, etPpXď7q “0,9.
1ière étape : On se "ramène" à la normale centrée réduite.
On a T “ X´µ
σ “ X´µ
2 suit la loi normale centré réduite :
PpX ď7q “P
ˆX´µ
2 ď 7´µ 2
˙
“P ˆ
T ď 7´µ 2
˙
“0,9
2ième étape : Utilisation de InvNormale.
Avec la machine InvN ormalp0.9,1,0q »1,2816.
3ième étape : détermination de µ.
On obtient donc : 7´µ
2 »1,2816ôσ»7´µ»2ˆ1,2816“2,5631ôµ»7´2,5631»4,437 Méthode 2
Remarque 1. On peut faire pareille avecPpX ěaq.
1
II Cas d’un intervalle centré sur µ.
Rappel : On a les approximations :
• Ppµ´σ ďX ďµ`σq »0,68.
• Ppµ´2σ ďXďµ`2σq »0,95. (Une formule plus exacte : Ppµ´1,96σďX ďµ`1,96σq »0,95)
• Ppµ´3σďX ďµ`3σq »0,997.
A Déterminer un intervalle centré.
Pour déterminer un intervalle pour que" la probabilité d’être dans cet intervalle soit de 95% ?" : (C’est le cas le plus courant)
On considèreXsuivant une loi normale d’espérance 5,5 et d’écart type 1,55. Pour déterminer un intervalle centré sur 5,5 ayant une probabilité de 95% d’être réaliser, on utilise Ppµ´2σ ď X ďµ`2σq »0,95.
Dés lors PpXP r2,45; 8,65sq »0,95.
Méthode 3
Remarque 2. On obtiendra une meilleure approximation avecPp1,96ďT ď1,96q »0,95 et l’intervalle obtenue est alors :
r5,5´1,96ˆ1,55; 5,5`1,96ˆ1,55s “ r2,462; 8,538s
B Déterminer un écart type à partir d’un intervalle centré.
Soit X une variable suivant une loi normale d’espérance 7,35 et d’écart type noté σ.
Si l’on sait que la probabilitéPp6,09ďX ď8,61q “0,95.
1ière étape :
On remarque que 7,35´6,09“8,61´7,35“1,26 donc :
r6,09; 8,61s “ r7,35´1,26; 7,35`1,26s
L’intervalle est donc centré sur 7,35 l’espérance de X. Donc on utilise Ppµ´2σ ďX ďµ`2σq »0,95.
Donc :
2σ“1,26ôσ“0,63 Méthode 4
Remarque 3. On peut faire un peu mieux en faisant :σ “ 1,26
1,96 “0,643.
2
