Lois à densité - Corrigé

(1)

Exercice 1 :

1) est définie et positive sur ℝ, continue sur ℝ sauf en 1 et 3 mais l’aire sous la courbe est égale à × 3 − 1 donc ce n’est pas une densité de probabilité.

2) est définie et positive sur ℝ, continue sur ℝ sauf en 0 et 0,5 et l’aire sous la courbe est égale à 1 2 × 0,5 donc c’est une densité de probabilité.

3) est définie et positive sur ℝ, continue sur ℝ sauf en 0, 0,5, 1,5 et 2 et l’aire sous la courbe est égale à 1× 0,5 + 1 × 0,5 + 0,5 × donc c’est une densité de probabilité.

4) est définie et positive sur ℝ, continue sur ℝ et l’aire sous la courbe est égale à 1^× donc c’est une densité de probabilité.

Exercice 2 :

1) est définie et positive sur ℝ, continue sur ℝ sauf en 1 et l’aire sous la courbe est égale à 1 : 4

= = 1− 0 = 1 donc est une densité de probabilité.

(2)

2) a) 0,5 ≤ ! ≤ 0,75 = #_,%^,$%4= _,%^,$% = 0,75− 0,5 = _'^& −_' = _'^'%

b) ! ≤ ( = 0,5 ⇔ # 4^* = 0,5 ⇔ ^* = 0,5 ⇔ ( = 0,5 ⇔ ( = +,0,5 ≈ 0,84

Exercice 3 :

/! > 1 = /! ≤ 1 ⇔ 1 − /! ≤ 1 = /! ≤ 1 ⇔ 2/! ≤ 1 = 1 ⇔ /! ≤ 1 =1 2 Or ! ≤ 1 = 45⁹ ⁶⁷⁸

= 1 − 5⁶⁷⁹ Ainsi /! ≤ 1 =1

2 ⇔ 1 − 5⁶⁷⁹ =1

2 ⇔ 5⁶⁷⁹=1

2 ⇔ − 41 = ln1

2 = − ln 2 ⇔ 1 =ln 2 La proposition est donc vraie. 4

Exercice 4 :

1) ! < 2 =₆⁶ = = 0,1

2) ! > 5 = 1 − ! ≤ 5 = 1 −₆^%6 = 1 −^% = 0,75

Exercice 5 :

1. 390 ≤ ! ≤ 410 = ! ≤ 410 − ! < 390 = 0,818 − 0,182 = 0,636

2. Un pain dont la masse est supérieure ou égale à 385 grammes est commercialisable donc : / = ! ≥ 385 = 1 − /! < 385 = 1 − 0,086 = 0,914

3. Dans cette question, la variable aléatoire ! suit la loi normale d’espérance C = 400 et d’écart-type D inconnu.

On cherche D tel que ! ≥ 385 = 0,96 ! − 400 ≥ −15 = 0,96 ^E6_F ≥ −^%_F = 0,96 G ≥ −^%_F = 0,96 ⇔ G < −^%_F = 0,04

On en déduit que −^%_F ≈ −1,751 . Conclusion : D ≈_,$%^% ≈ 8,6 Partie B

1. l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la proportion de pains commercialisables dans un échantillon de taille 300 est donné par :

H / − 1,96,/1 − /

√J ; / + 1,96,/1 − /

√J L = H 0,96 − 1,96 √0,96 × 0,04

√300 ; 0,96 + 1,96 √0,96 × 0,04

√300 L Après calculs, on obtient : 0,937; 0,983

2. La fréquence observée de pains commercialisables est de ^&≈ 0,943

Cette proportion appartenant à l’intervalle précédent, on peut considérer que l’objectif est atteint.

(3)

Partie C

1. L’événement « la balance électronique ne se dérègle pas avant 30 jours » se traduit par M > 30. Or M > 30 = 1 − M ≤ 30 = 1 − N1 − 5^6O×P = 5^6O×

Il reste à résoudre : 5^6O×= 0,913 ⇔ −λ × 30 = ln 0,913 ⇔ λ =^{RS ,T}₆ ≈ 0,003 2. On cherche _UV'M > 90. D’après la propriété de durée de vie sans vieillissement, _UV'M > 90 = M > 90 − 60 = M > 30 = 0,913

3. M > 365 = 5^6,×'% ≈ 0,33 < 0,5 : le vendeur a tort.

Calculons la valeur de W telle que M > W ≥ 0,5 :

M > W ≥ 0,5 ⇔ 5^6,X≥ 0,5 ⇔ −0,003W ≥ ln 0,5 ⇔ W ≤ ln0,5

−0,003 ⇒ W ≤ 231 Il ya donc une chance sur deux pour que la balance ne se dérègle pas avant 231 jours.

Exercice 6 : Partie A

1. « La bille est hors norme » se traduit par l’événement ! < 9 ∪ ! > 11 /! < 9 ∪ ! > 11 = /! < 9 + /! > 11 = /! < 9 + 1 − /! ≤ 11 En utilisant le tableau de valeurs et avec la précision permise :

/! < 9 ∪ ! > 11 = 0,00620967 + 1 − 0,99379034 = 0,01241933

On en déduit qu’une valeur approchée à 0,0001 près de la probabilité qu’une bille soit hors norme est 0,0124.

2.a.

[ \

[ [ \

[

b. Les événements \ et \ forment une partition de l’univers lié à l’expérience aléatoire, d’après la formule des probabilités totales :

/[ = /[ ∩ \ + /N[ ∩ \P = /\ × /_^[ + /N\P × /_^[ = 0,9876 × 0,99 + 0,0124 × 0,02 Finalement, /[ = 0,9780 arrondie à 10⁶ près.

c. On cherche la probabilité /_{_}N\P =^{`N_∩^P}_{`_} =^,×,_,T$& = 0,0003 arrondie à 10⁶ près.

Partie B

1. La variable aléatoire a donne le nombre de billes hors norme dans un sac de 100 billes.

Sachant que l’expérience aléatoire est assimilée à un tirage avec remise de 100 billes dans l’ensemble des billes fabriquées, on est donc en présence d’un schéma de Bernoulli dont la probabilité de succès est 0,0124 : a ↪ ℬ100 ; 0,0124.

2. D’après le cours, da = J/ = 100 × 0,0124 = 1,24 et Da = √100 × 0,0124 × 0,9876 ≈ 1,1066. e. a = 2 = 1002 × 0,0124× 0,9876^T& ≈ 0,2241

g. a ≤ 1 = /a = 0 + /a = 1 = 0,9876+ 100 × 0,0124 × 0,9876^TT ≈ 0,6477 0,99

0,9876

0,01 0,02 0,0124

0,98

(4)

Exercice 7 :