Problème suggéré par Augustin Genoud
Jules possède des billes d’apparence identique. Il sait qu’elles sont toutes de masses légèrement différentes. Il aimerait les classer, dans l’ordre, de la plus lourde à la plus légère. Pour cela, il ne dispose que d’une petite balance à plateaux sur laquelle il ne peut mettre qu’une bille de chaque côté. Chaque utilisation de la balance constitue un test.
Q₁ Combien de tests doit-il effectuer, au minimum, pour classer 5 billes, dans le pire des cas et en appliquant la meilleure stratégie ? [***]
Q₂ Combien de tests doit-il effectuer, au minimum, pour classer 8 billes, dans le pire des cas et en appliquant la meilleure stratégie ? [****]
Q₃ Pour les plus courageux : combien de billes, au maximum, peut-il classer en 34 tests, dans le pire des cas et en appliquant la meilleure stratégie ? [*****]
Nous appellerons insertion par dichotomie (i.d.), le processus par lequel on insère un élément supplémentaire dans une suite ordonnée de n éléments, en le plaçant par rapport à celui de rang [n/2], ( [ ] : partie entière), en éliminant cet élément et ceux qui se trouvent de l’autre coté, puis en recommençant avec ceux qui restent. Si n=2k-1 on aboutit en k comparaisons ; de même si 2k est la puissance de 2 immédiatement supérieure à n+1.
Q1 : une pesée suffit pour classer deux billes, trois sont nécessaires pour trois billes.
Pour quatre billes (a, b, c, d), on compare deux paires distinctes, puis les plus lourdes : a<b, c<d, b<d donc a<b<d : puis on compare c à a et b, soit 5 pesées au pire.
Pour cinq billes a, b, c, d, e, en trois pesées on obtient comme ci-dessus a<b<d ; l’i.d.
de e se fait en deux pesées. Nous pouvons alors avoir e<a<b<d, a<e<b<d, a<b<e<d ou a<b<d<e : l’i.d. de c par rapport aux éléments inférieurs à d (3 au plus) se fait en deux pesées, soit 7 en tout.
Q2 : Avec huit billes (a, b, c, d, e, f, g, h), on forme quatre couples que l’on ordonne (4 pesées : a<b, c<d, e<f, g<h) puis on classe les 4 plus lourdes (5 pesées : b<d<f<h) : on a alors 5 billes classées : a<b<d<f<h ; l’i.d. de e par rapport à a, b, d se fait en deux pesées, celle de c par rapport à a, b et éventuellement e, en deux pesées également.
Enfin, l’i.d. de g par rapport à six éléments au pire, nécessite 3 pesées. Soit 16 en tout.
Q3 : Montrons que n=13 : comme ci-dessus, on classe six paires, a<b, c<d, e<f, g<h, i<j, k<l, puis en 10 pesées on obtient a<b<d<f<h<j<l (3 de plus que pour 5, pour l’i.d. de la sixième) ; 3 pesées sont enfin nécessaires pour l’i.d. des billes restantes dans l’ordre m, k, i, g, e et c, puisqu’à chaque fois on compare à 7 billes. Soit 34 pesées.
Puisqu’il y a n! classements possibles, et que k tests peuvent donner 2k résultats différents, on ne peut conclure que si n!≤2k donc si k≥log2(n!). On obtient ainsi un minorant du nombre de pesées, qui se trouve être le résultat que obtenu pour n=5 et n=8, mais plus pour n=13...
