A141-Le sac de billes

A141-Le sac de billes Solution

Les n enfants A,B,C,… K,L sont répartis sur un cercle. Le premier servi reçoit x billes, son voisin de droite qui est servi dans le sens inverse des aiguilles d’une montre en reçoit donc x+1 jusqu’au nième enfant appelé L qui en reçoit x+n-1. Au total N = nx+n(n-1)/2 ont été distribués avec x1. Comme la contenance maximale du sac de billes est de 250, on en déduit que n21. Par ailleurs on sait par hypothèse que n > 5.

Quand tous les enfants ont été servis, Diophante demande au voisin de gauche de A qui est donc L de donner une bille à son voisin de gauche qui est K, puis à K de donner 2 billes à J, etc… A l’issue d’un tour complet, A qui a reçu de B (n-1) billes transmet à L n billes. Chacun des (n-1) enfants K,J,…,C,B et A a une bille de moins et c’est L qui à ce stade récupère les n- 1 billes correspondantes. A qui a le moins grand nombre de billes se retrouve donc avec x-1 billes. Le processus peut se poursuivre tant que A a des réserves. Par exemple si x>1, au tour suivant L donne n+1 billes à K qui en donne n+1 à J,….à C qui en donne 2n-2 à B qui en donne 2n-1 à A etc…

Si A, après avoir servi L, n’a plus de billes, il lui est impossible au tour suivant de donner une bille de plus que celles qu’il reçoit de B.Ceci se produit au (x+1)ième tour et A reçoit de B n(x+1) – 1 billes.

La répartition des billes est alors la suivante : A en possède n(x+1) – 1, B n’en a aucune, C en détient 1, D en a 2,…., K en détient n-3 et L en détient n-2. On vérifie à cette occasion que n(x+1) – 1 +[1 + 2 + 3 +… + (n-2)] = n(x+1) - 1+(n-2)(n-1)/2 = nx+n(n-1)/2 = N qui est le nombre total de billes contenues dans le sac et distribuées aux enfants.

Il en résulte que x,x₁max(nombredebillesdétenuespar lesenfants)n(x1)1 et que A s’appelle Hippolyte et son voisin de gauche L s’appelle Théophile qui détient

2 n

x₂   billes.

Diophante constate les identités suivantes :

x est multiple de 1 x₂ n(x1)1p(n2) avec p entier >1 (1) x est multiple de 1



 n i

2 i

xi n(x1)1q(N-n(x1)1) avec q entier >1 qui s’écrit n(x+1) – 1 = q(n-2)(n-1)/2 (2)

De ces deux relations (1) et (2), on déduit p(n-2) = q(n-2)(n-1)/2. Comme n > 5, il en résulte q = 2p/(n-1) (3)

La relation (1) peut encore s’écrire x = (p-1) – (2p-1)/n.

Il s’agit donc de trouver deux entiers p et n avec 5< n21 tels que n-1 divise 2p et n divise 2p-1. Les couples (n,p) qui satisfont ces deux conditions sont peu nombreux : (7,18), (7,39), (9,32), (11,50),… Le seul qui est compatible avec N <250 est n=7 et p=18. Il en résulte x = 12.

En conclusion la solution est unique : il y a 7 enfants à qui 105 billes ont été distribuées.

Hippolyte le premier servi en a reçu 12 et à l’issue du processus de redistribution, il en possédait 90, son voisin Théophile de gauche qui avait reçu 18 billes de Diophante n’en avait plus que 5 après la redistribution circulaire. On vérifie que le nombre 90 est bien multiple de 5 et du nombre total de 15 billes détenues par les 6 enfants après redistribution.