A 631. Jeux de billes. **
Q1 Dix enfants ont chacun cent billes dans leur cartable et s'adonnent au jeu suivant : à chaque tour, un enfant donne une bille à chacun des neuf autres enfants. Déterminez le nombre minimal de tours à l'issue desquels les enfants ont des nombres de billes différents dans leur cartable. Justifiez votre réponse.
Q2 Cent enfants ont chacun cent billes dans leur cartable et s'adonnent au jeu suivant : à chaque tour, un enfant choisit un groupe d'enfants (dans lequel il y a au moins un enfant) et donne une bille à chacun des enfants appartenant à ce groupe. Déterminez le nombre minimal de tours à l'issue desquels les enfants ont des nombres de billes différents dans leur cartable. Justifiez votre réponse.
Solution proposée par Michel Lafond Réponses : Q1 : 45 tours Q2 : 50 tours
Q1.
Supposons que l’enfant Ek procède ak fois à la distribution des billes. [k = 1, 2, …, 10]
À la fin Ek possèdera :
100 [billes au départ] moins [distributions des billes] plus [billes reçues par les autres]
Donc à la fin Ek possèdera billes.
Tous les effectifs finaux sont distincts, donc tous les ak sont distincts.
Le nombre minimal de tours sera obtenu avec et à la fin, l’enfant Ek possèdera billes.
Voici une réalisation possible :
En première colonne : le nombre de distributions opérées par l’enfant qui possède un nombre de billes indiqué en gras.
k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100
2 101 91 101 101 101 101 101 101 101 101
3 103 93 83 103 103 103 103 103 103 103
4 106 96 86 76 106 106 106 106 106 106
5 110 100 90 80 70 110 110 110 110 110
6 115 105 95 85 75 65 115 115 115 115
7 121 111 101 91 81 71 61 121 121 121
8 128 118 108 98 88 78 68 58 128 128
9 136 126 116 106 96 86 76 66 56 136
145 135 125 115 105 95 85 75 65 55
45 nombre de billes à l’issue des 45 tours
Q2.
Supposons que l’enfant Ek possède ak billes à l’issue de toutes les distributions de billes. [k = 1, …, 100]
La somme des ak est égale à 10000 et ils sont tous distincts.
Le maximum A des ak est donc supérieur à 100.
L’enfant qui a un nombre final de billes égal à A, a vu son nombre de billes passer de 100 à A, il a donc fallu au moins A – 100 tours pour cela.
A est au moins égal à 150. En effet, si ce n’était pas le cas, A ne dépasserait pas 149 mais la somme de 100 nombres distincts tous inférieurs ou égaux à 149 est au plus 50 + 51 + 52 + … + 149 = 9950 < 10000.
Donc il faut au minimum 150 – 100 = 50 tours.
Voici une solution en 50 tours à l’issue de laquelle les enfants auront respectivement 50, 51, 52, …, 99, 101, 102, …, 150 billes. [Tous les entiers de 50 à 150 sauf 100].
Au premier tour, E1 donne une bille aux 50 enfants numérotés 51, 52, …, 100. On a donc les effectifs 50, 100, 100, …, 100, 101, 101, …, 101 après le tour 1.
[100 est présent 49 fois et 101 est présent 50 fois]
Au deuxième tour, E100 donne une bille aux 50 enfants numérotés 50, 51, 52, …, 99. On a donc les effectifs 50, 100, 100, …, 100, 101, 102, 102, …, 102, 51 après le tour 2.
[100 est présent 48 fois et 102 est présent 49 fois]
Au troisième tour, E99 donne une bille aux 50 enfants numérotés 49, 50, 51, …, 98. On a donc les effectifs 50, 100, 100, …, 100, 101, 102, 103, 103, …, 103, 52, 51 après le tour 3.
[100 est présent 47 fois et 103 est présent 48 fois]
Pour t compris entre 2 et 50, au tème tour, l’enfant numéro 102 – t donne une bille aux enfants numérotés 52 – t, 53 – t, …, 101 – t et on vérifie par récurrence qu’à l’issue du tème tour, les effectifs sont :
50, 100, 100, …, 100, 101, 102, 103, …, 99 + t, 100 + t, 100 + t, …, 100 + t, 49 + t, 48 + t, …, 52, 51
où le nombre de "100" est 50 – t, et le nombre de "100 + t" est 51 – t.
Ainsi, à l’issue du 49ème tour, on a les effectifs 50, 100, 101, 102, …, 148, 149, 149, 98, 97, 96, …, 52, 51.
Enfin, au 50ème tour, l’enfant numéro 52 [qui possède 149 billes] donne une bille à tous les enfants numéros 2, 3, …, 51 pour arriver aux effectifs
50, 101, 102, 103, …, 149, 150, 99, 98, 97, …, 52, 51 où on trouve bien, dans le désordre, tous les entiers de 50 à 150 sauf 100.
