A631 − Jeux de billes [*** à la main]
Q₁ Dix enfants ont chacun cent billes dans leur cartable et s'adonnent au jeu suivant : à chaque tour, un enfant donne une bille à chacun des neuf autres enfants. Déteminez le nombre
minimal de tours à l'issue desquels les enfants ont des nombres de billes différents dans leur cartable. Justifiez votre réponse.
Q₂ Cent enfants ont chacun cent billes dans leur cartable et s'adonnent au jeu suivant: à chaque tour, un enfant choisit un groupe d'enfants (dans lequel il y a au moins un enfant) et donne une bille à chacun des enfants appartenant à ce groupe. Déteminez le nombre minimal de tours à l'issue desquels les enfants ont des nombres de billes différents dans leur
cartable.Justifiez votre réponse.
Solution poposée par Raymond Bloch
Q1. Si 2 enfants ont été donneurs le même nombre de fois, ils auront le même nombre de billes à la fin. Il faut donc que les 10 enfants soient donneurs respectivement 0, 1, 2, …, 9 fois , ce qui conduit à un nombre minimum de tours égal à 45. On a vérifié qu’ainsi aucun enfant n’aura un nombre négatif de billes, puisque le nombre maximum de billes données sera 9x9=81 < 100.
Q2. On numérote les enfants de 1 à 100. solde
n°1 donne 1 bille à n°100 99
n°2 donne 1 bille à n°100 et 99 98
n°3 donne 1 bille à n°100,99 et 98 97
…
n°50 donne 1 bille à n°100, 99,…, 51 50
n°51 a donc reçu 1 bille 101
n°52 a donc reçu 2 billes 102
…
n°100 a donc reçu 50 billes 150
Il a fallu 50 tours pour que les 100 soldes détenus à la fin soit distincts, et ce nombre est le minimum. En effet, si 49 tours au plus étaient joués, les soldes détenus à la fin seraient compris entre 51 et 149, soit 149-51+1=99 valeurs distinctes, contradiction puisqu’il y a 100 enfants.
