Déterminez le nombre minimal de tours à l’issue desquels les enfants ont des nombres de billes différents dans leur cartable

A631. Jeux de billes **

Q1−Dix enfants ont chacun cent billes dans leur cartable et s’adonnent au jeu suivant : à chaque tour, un enfant donne une bille à chacun des neuf autres enfants.

Déterminez le nombre minimal de tours à l’issue desquels les enfants ont des nombres de billes différents dans leur cartable. Justifiez votre réponse.

Q2−Cent enfants ont chacun cent billes dans leur cartable et s’adonnent au jeu suivant : à chaque tour, un enfant choisit un groupe d’enfants (dans lequel il y a au moins un enfant) et donne une bille à chacun des enfants appartenant à ce groupe.

Déterminez le nombre minimal de tours à l’issue desquels les enfants ont des nombres de billes différents dans leur cartable.Justifiez votre réponse.

Solution de Claude Felloneau

Q₁−Il faut au minimum 45 tours pour que les enfants aient des nombres de billes différents.

Preuve :

Au bout dentours, pouricompris entre 1 et 10, on notebile nombre de billes de l’enfantietnile nombre de tours où l’enfantidonne une bille à chacun des autres.

Peu importe l’ordre selon lequel sont choisis les enfants qui distribuent des billes. On a : n=

10

X

i=1

ni et pouricompris entre 1 et 10,bi=100+n−10ni. Lesbisont tous différents si et seulement si lesnisont tous différents.

Ainsi le nombre minimal de tours à l’issue desquels les enfants ont des nombres de billes différents dans leur cartable est l’entiern=

10

X

i=1

nioù lesni, 16ⁱ610, prennent les valeurs entières de 0 à 9.

On a alorsn=0+1+2+...+9=45.

Q2−Il faut au minimum 50 tours pour que les enfants aient des nombres de billes différents.

Preuve :

On utilise les mêmes notations que pourQ1.

Si au bout dentours, lesbisont tous différents, alors l’un au moins desbiest supérieur ou égal à 150.

En effet, sinon pour touti compris entre 1 et 100,bi 6^{149 donc}

100

X

i=1

bi6¹⁴⁹+148+...+51+50=9950, ce qui est impossible puisque le premier membre est égal 10⁴.

Comme l’unbiest supérieur ou égal à 150, l’un au moins des enfants a reçu 50 billes des autres et il y a donc eu au moins 50 tours. Ainsin>^50.

On suppose que pour 16ⁱ650, l’enfantidonne une bille à chaque enfant dont le numéro est supérieur ou égal à 50+i. Ce qui nécessite 50 tours à l’issue desquels :

- Tout enfant dont le numéroiest compris entre 1 et 50 possèdeb_i=49+ibilles. Lesb_isont tous différents pour 16ⁱ650 et prennent toutes les valeurs de 50 à 99.

- Tout enfantj dont le numéro est supérieur ou égal à 51 a reçu une bille de chacun des enfantsitels que 50+i6^j, c’est-à-dire 16ⁱ6^j−50. L’enfantja donc reçuj−50 billes. Il en possède doncb_j=100+j−50= 50+j.

Pour 516^j6^{100, lesb}jsont tous différents et prennent toutes les valeurs de 101 à 150.

Au bout de ces 50 tours, tous les enfants ont des nombres de billes différents. Ainsi l’entiernminimal cher- ché est inférieur ou égal à 50.

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