A631. Jeux de billes
Q1 Dix enfants ont chacun cent billes dans leur cartable et s'adonnent au jeu suivant : à chaque tour, un enfant donne une bille à chacun des neuf autres enfants. Déterminez le nombre minimal de tours à l'issue desquels les enfants ont des nombres de billes différents dans leur cartable. Justifiez votre réponse.
Q2 Cent enfants ont chacun cent billes dans leur cartable et s'adonnent au jeu suivant: à chaque tour, un enfant choisit un groupe d'enfants (dans lequel il y a au moins un enfant) et donne une bille à chacun des enfants appartenant à ce groupe.
Déterminez le nombre minimal de tours à l'issue desquels les enfants ont des nombres de billes différents dans leur cartable. Justifiez votre réponse.
Solution de Gaston Parrour
Q1 Le nombre minimal de tours à l'issue desquels 10 enfants ont des nombres de billes différents avec la stratégie définie dans l'énoncé de Q1.
soit a (ici a = 100) le nombre de billes initial de chacun des 10 enfants
A partir de cela : quand un enfant distribue 9 billes, chacun des autres en reçoit une → écart E entre nombre de billes d'un enfant à l'autre E = 0 (modulo 10)
Chaque enfant doit posséder un nombre de billes différent après un nombre minimum d'opérations Dans la suite de Q1 :
Supposons les enfants ''1'' ''2'', etc rangés devant nous de gauche à droite de telle façon que leur possessions définitives seront croissantes depuis l'enfant ''1'' jusqu'à l'enfant ''10'', alors → l'écart entre les possessions de 2 enfants successifs sera donc de 10
(ces écarts consécutifs égaux à 10 doivent être réalisés avec le minimum de tours possibles) → Considérons les séquences suivantes : (dans la suite a = 100 est le nombre de billes initial) Au départ chacun des 10 enfants possède ''a'' billes
En commençant par exemple à droite par les enfants ''10'' et ''9'' :
Pour se distinguer de ''10'', l'enfant ''9'' distribue 1 fois 9 billes (tour 1)
Alors le ''8'' qui possède a+1 billes, pour se distinguer du ''10'' , distribue 9 billes (tour 2)
Ce ''8'' possède alors autant de billes que le ''9'' → le ''8'' distribue une seconde fois 9 billes (tour3) → Après le 3ième tour
les enfants ''8'' ''9'' ''10'' possèdent respectivement a -17 a -7 a+3 billes les autres (de ''1'' à ''7'') possèdent tous a+3 billes
En poursuivant de la même façon vers la gauche :
L'enfant ''7'' (pour se distinguer de ''10'' et de ''9'' et de ''8'') doit distribuer au moins 3 fois de suite 9 billes
→ Après le 6ième tour
les enfants ''7'' ''8'' ''9'' et ''10'' possèdent respectivement a-24 a-14 a -4 a+6 les autres (de ''1'' à ''6'') possèdent tous a+6 billes
L'enfant ''6'' doit distribuer 4 fois de suite les 9 billes afin de se démarquer de ''10'' ''9'' ''8'' ''7'' → Après le 10ième tour
les enfants ''6'' ''7'' ''8'' ''9'' et ''10'' possède respectivement a-30 a-20 a-10 a a+10 les autres, (de ''1'' à ''5'') possèdent tous a+10 billes
En poursuivant vers la gauche :
l'enfant ''5'' en distribuant 5 fois de suite les 9 billes se distingue de ses voisins ''6'' ''7'' ''8'' ''9'' ''10'' l'enfant ''4'' distribue 6 fois de suite pour un nombre de billes distinct de celui de ''5'' ''6'' … ''10''
l'enfant ''3'' distribue 7 fois de suite pour un nombre de billes distinct de celui de ''4'' ''5'' ''6'' … ''10'' l'enfant ''2'' distribue 8 fois de suite pour un nombre de billes distinct de celui de ''3'' ''4'' … ''10'' l'enfant ''1'' distribue 9 fois de suite pour un nombre de billes distinct de celui de tous les autres ==> Le nombre minimum de tours est donc la somme 1+2+3+ … +9 = 45
→ Le tableau suivant résume ce qui précède (et la distribution finale au bout du 45ième tour) (ici a = 100) N °Enfant 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
état initial a a a a a a a a a a
tour 1 a+1 a+1 … a+1 a-9 a+1 tour 2 a+2 a+2 … a -8 a-8 a+2 tour 3 a+3 a+3 … a+3 a -17 a-7 a+3 …
tour 6 a+6 a+6 … a -24 a -14 a -4 a+6 …
tour 10 a+10 a+10 … a -30 a -20 a -10 a a+10 …
tour 45 a -45 a -35 a -25 a -15 a -5 a+5 a+15 a+25 a+35 a+45
Q2 Le nombre minimal de tours à l'issue desquels 100 enfants ont des nombres de billes différents avec la stratégie définie en Q2
Soit a le nombre de billes que possède au départ chacun des enfants, (ici a = 100) Si on a affaire à
2 enfants 1 tour suffit : un ''donne'' (a, a) → (a-1, a+1) 3 enfants 1 tour suffit : comme précédemment, un donne (ici à l'un) (a, a, a) → (a-1, a, a+1) 4 enfants A partir du cas précédent de 3 enfants (le nouveau venu en rouge ''isolé'' des trois autres) : au tour 1 les trois autres opèrent comme précédemment (a, a, a, a) → (a, a-1, a, a+1) au tour 2 le nouveau venu donne à ceux qui ont ≥ a (a, a-1, a, a+1) → (a-2, a-1, a+1,a-2) 2tours sont nécessaires
→ Ce qui précède montre qu'ici, pour p=1 ou p=2 :
- au nombre pair 2p d'enfants , correspond un nombre minimum de p tours
et pour p=1 ou pour p=2 , la configuration finale est symétrique (a-1 a+1) ou (a-2 a-1 a+1 a+2) - au nombre impair 2p+1 = 3 d'enfants (p = 1), correspond un nombre minimum de p tours
et la configuration finale est également symétrique [avec p=1 elle est (a-1 a a+1) ]
N.B. Avec les enfants rangés en ordre croissant de leur possession finale, la différence entre deux voisins est 1 → Passage au cas général (récurrence)
Supposons qu'avec 2p enfants, le nombre minimum de tours soit p et corresponde à la configuration symétrique suivante :
a-p a-(p-1) a-(p-2) a-(p-3) … (a-1) (a+1) … a+(p-2) a+(p-1) a+p (1) Avec 2p+1 enfants :
Au départ, on ''isole'' un enfant (il occupera finalement le rang p+1 (au milieu) ) : Il possède a billes et ne participe pas aux p échanges entre les 2p autres.
Ces p premiers échanges sont nécessaires pour satisfaire l'exigence de possessions toutes distinctes.
La configuration (1) ci-dessus, (symétrique) répond à cela par hypothèse Alors,
→ Après ces p échanges on obtient pour les 2p+1 enfants une configuration symétrique dérivée de (1) où l'enfant ''isolé'' rejoint ses camarades (au rang p+1) avec ses a billes de départ :
a-p a-(p-1) a-(p-2) a-(p-3) … (a-1) a (a+1) … a+(p-2) a+(p-1) a+p (2) Avec 2(p+1) enfants :
Le passage à 2(p+1) enfants peut être considéré comme l'ajout d'un enfant au cas 2p+1.
Au départ on peut par exemple ''isoler'' un enfant (''le nouveau'') avec ses ''a'' billes Alors, avec ce qui précède (cas 2p+1) ;
Après p échanges, les possessions des 2p+1 présentent la configuration symétrique (2)
Alors le ''nouveau'' avec ses ''a'' billes peut distribuer une bille à tous ceux dont la possession est à cette étape ≥ a . Dans une configuration telle que (2), ils sont au nombre de p+1
Ainsi
→ Après ce dernier échange, il y aura eu p+1 échanges en tout
Et avec le ''nouveau'' (placé à gauche ici pour la présentation finale !) , on obtient la configuration symétrique suivante pour les possessions des 2(p+1) enfants :
a-(p+1) a-p a-(p-1) … (a-1) (a+1) (a+2) … a+p a+(p+1) (3)
N.B. Dans les configurations (2) et (3) ci-dessus, à chaque augmentation du nombre d'enfants, apparait en rouge la contribution du nouveaux venu
En conclusion
==> Dans le cas général on obtient :
2p enfants, après un minimum de p échanges, possèdent chacun un nombre de billes différents.
2p+1 enfants aboutissent au même résultat après un nombre minimum de p échanges également Dans les deux cas, les configurations finales sont symétriques allant de a-p à a+p (a , nombre de billes au départ)
N.B. Cela sous entend donc, pour le moins : a ≥ p Application numérique :
Chaque enfant possède a = 100 billes , il y a 2p = 100 enfants
Avec ce nombre pair d'enfants, il faut au moins p = 50 tours pour que chaque enfant ait un nombre de billes différent de celui de chacun des autres.
L'ensemble des possessions présente alors une configuration symétrique (comme en (1) (2) ou (3) ci-dessus) → la possession minimum est a-p = 50 billes, la possession maximum est a+p = 150 billes.
N.B. Dans cette suite d'entiers successifs seule la possession 100 n'existe pas pour ce cas symétrique.
