A631 − Jeux de billes [*** à la main]
Q₁ Dix enfants ont chacun cent billes dans leur cartable et s'adonnent au jeu suivant : à chaque tour, un enfant donne une bille à chacun des neuf autres enfants. Déteminez le nombre
minimal de tours à l'issue desquels les enfants ont des nombres de billes différents dans leur cartable. Justifiez votre réponse.
Q₂ Cent enfants ont chacun cent billes dans leur cartable et s'adonnent au jeu suivant: à chaque tour, un enfant choisit un groupe d'enfants (dans lequel il y a au moins un enfant) et donne une bille à chacun des enfants appartenant à ce groupe. Déteminez le nombre minimal de tours à l'issue desquels les enfants ont des nombres de billes différents dans leur
cartable.Justifiez votre réponse.
Solution proposée par Daniel Collignon Q₁ 45 tours au minimum
Notons b_i le nombre de fois où l'enfant n°i (0=<i=<9) donne 1 bille à chacun des 9 autres.
Soit s = b0+...+b9 le nombre de tours.
La situation finale est que l'enfant n°i dispose de 100 - 9*b_i + s-b_i = 100+s-10*b_i.
Elle donnera 10 nombres distincts de billes ssi les b_i sont distincts 2 à 2.
Clairement s >= 0+...+9, l'égalité étant atteinte lorsque b_i = i.
Réciproquement on vérifie que c'est bien une situation que l'on peut atteindre.
Q₂ 50 tours au minimum
L'enfant possédant le plus de billes pourrait-il en avoir 149 ?
Non car alors nous aurions au plus 149+148+...+50=199*50<100*100 (invariant du nombre total de billes)
Le maximum est donc au moins 150, ce qui nécessite au moins 150-100=50 tours.
Réciproquement on vérifie que c'est bien une situation que l'on peut atteindre.
L'enfant n°i (0=<i=<49) va donner 1 bille à chacun des enfants 50-i enfants n°50+i, ..., 99.
Pour 0=<i=<49, l'enfant n°i aura à la fin 100-(50-i)=50+i, donc 50, ..., 99.
Pour 50=<i=<99, l'enfant n°i aura à la fin 100+(i+1-50)=51+i, donc 101, ..., 150.
