Q₁ Dix enfants ont chacun cent billes dans leur cartable et s'adonnent au jeu suivant : à chaque tour, un enfant donne une bille à chacun des neuf autres enfants. Déterminez le nombre minimal de tours à l'issue desquels les enfants ont des nombres de billes différents dans leur cartable. Justifiez votre réponse.
Q₂ Cent enfants ont chacun cent billes dans leur cartable et s'adonnent au jeu suivant: à chaque tour, un enfant choisit un groupe d'enfants (dans lequel il y a au moins un enfant) et donne une bille à chacun des enfants appartenant à ce groupe. Déterminez le nombre minimal de tours à l'issue desquels les enfants ont des nombres de billes différents dans leur cartable.Justifiez votre réponse.
Q1 : A chaque tour, chaque enfant est donneur ou receveur ; après n tours, si un enfant a été k fois donneur, il détient 100-9k+n-k=100-10k+n billes. Pour que chaque enfant ait un nombre différent de billes, k doit prendre 10 valeurs différentes pour chaque enfant, soit au minimum 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, et 9. Soit un total de 45 tours.
Les enfants ont alors 55, 65, 75, 85, 95, 105, 115, 125, 135 et 145 billes.
Q2 : Si M est le plus grand nombre de billes obtenu au final par un enfant, les autres en ont au plus M-1, M-2,..., M-99 soit un total de 100M-50*99 ; mais le nombre total de billes reste constant, égal à 100*100, donc 100M≥299*50 donc M≥150. Le
nombre de billes d’un enfant n’augmentant au plus que de un par tour, il faut un minimum de 50 tours.
C’est effectivement possible en divisant les enfants en deux groupes : au départ 50 donneurs et 50 receveurs ; le premier donneur donne 50 billes à chacun des
receveurs. Un des receveurs est exclu (avec 101 billes) et le donneur suivant donne 49 billes à ceux qui restent, etc... On obtient ainsi, in fine, des nombres de billes allant de 50 à 99 chez les donneurs et de 101 à 150 chez les receveurs.
