A631 − Jeux de billes [*** à la main]
Q₁ Dix enfants ont chacun cent billes dans leur cartable et s'adonnent au jeu suivant : à chaque tour, un enfant donne une bille à chacun des neuf autres enfants. Déteminez le nombre
minimal de tours à l'issue desquels les enfants ont des nombres de billes différents dans leur cartable. Justifiez votre réponse.
Q₂ Cent enfants ont chacun cent billes dans leur cartable et s'adonnent au jeu suivant: à chaque tour, un enfant choisit un groupe d'enfants (dans lequel il y a au moins un enfant) et donne une bille à chacun des enfants appartenant à ce groupe. Déteminez le nombre minimal de tours à l'issue desquels les enfants ont des nombres de billes différents dans leur
cartable.Justifiez votre réponse.
Solution proposée par Bernard Vignes
Q₁ On numérote les enfants de 1 à 10. Pour que les enfants aient à la fin de la distribution des nombres de billes différents, les nombres de distributions de billes réalisées par chaque enfant sont nécessairement différents. Sinon deux enfants se retrouveraient avec le même nombre final de billes. Le nombre de tours minimal est égal à 0 + 1 + 2 + ...+ 9 = 45. La distribution peut être réalisée de la manière suivante:
L'enfant n°1 ne fait rien. L'enfant n°2 distribue 9 billes une seule fois. L'enfant n°3 distribue 2 fois 9 billes etc...L'enfant n° k distribue (k − 1) fois 9 billes. D'où le tableau:
k\k nb tours 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 total
1 0 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 1000
2 1 101 91 101 101 101 101 101 101 101 101 1000
3 2 103 93 83 103 103 103 103 103 103 103 1000
4 3 106 96 86 76 106 106 106 106 106 106 1000
5 4 110 100 90 80 70 110 110 110 110 110 1000
6 5 115 105 95 85 75 65 115 115 115 115 1000
7 6 121 111 101 91 81 71 61 121 121 121 1000
8 7 128 118 108 98 88 78 68 58 128 128 1000
9 8 136 126 116 106 96 86 76 66 56 136 1000
10 9 145 135 125 115 105 95 85 75 65 55 1000
La denière ligne donne la répartition finale.
Q₂ On numérote les enfants de 1 à 100.
Les enfants dont le numéro k est compris entre 1 et 50 (1≤ k ≤ 50) donnent k billes soit une bille à chacun des enfants numérotés de 50 à 50 + k.
A l'issue de 50 tours la répatition est la suivante: 99,98,....,50,150,149,...101 billes.
50 tours est le nombre minimum possible de tours. S'il y a moins de 50 tours, 49 par exemple, il y a au moins 51 enfants qui ne donnent pas de billes aux autres enfants et la quantité de billes qu'ils ont dans leur cartable est comprise entre 100 et 149. Par conséquent d'après le principe des tiroirs deux d'entre eux ont la même quantité de billes. Contradiction.
