A4903. Une récréation de feu Ozanam
Zig a trouvé dans l'un des quatre ouvrages "Récréations Mathématiques et Physiques publiées par feu Jacques Ozanam de l'Académie Royale des Sciences et Professeur en Mathématique, nouvelle édition revue et corrigée avec soin", l'énigme suivante qu'il a mise au goût du jour:
Un lion de bronze placé sur le bassin d'une fontaine peut jeter l'eau par la gueule, par le pied droit et par les yeux. S'il jette l'eau par la gueule il emplira le bassin en 50 minutes exactement: s'il la jette par le pied, il l'emplira en 1 heure 21 minutes 40 secondes: s'il la jette par l’œil droit il l'emplira en 1 heure 56 minutes 40 secondes: s'il la jette par l’œil gauche il l'emplira en 1 heure 5- minutes -- secondes*. On demande en combien de temps T le bassin sera rempli, si le lion jette l'eau en même temps par la gueule, par le pied et par les yeux, sachant que T s'exprime exactement en minutes et secondes.
* Comme c'est un vieil ouvrage, Zig ne peut lire ni le chiffre des unités des minutes ni le nombre des secondes.
Solution de Gaston Parrour
Notation
l'unité des temps ti (i=1,4) est implicitement la seconde débit par la gueule D1
débit par le pied D2 débit par l’œil droit D3 débit par l’œil gauche D4 Données
Temps de remplissage : gueule seule t1 = 50x60 = 3000 s pied seul t2 =1h 21 min 40s = 4900 s œil droit seul t3 =1h 56 min 40s = 7000 s
Pour l'œil gauche on connait l'encadrement suivant du temps t4 de remplissage 1h 50min 0s ≤ t4 ≤ 1h 59min 59s
œil gauche seul 6600 s ≤ t4 < 7200 s
Relation entre ces temps de remplissage individuels et le temps T de remplissage en fonctionnement simultané Si Bp est le volume du bassin plein, on a
Bp = T(D1+D2+D3+D4) = t1D1 = t2D2 = t3D3 = t4D4 d'où
1/T = 1/t1 + 1/t2 + 1/t3 + 1/t4 → Avec les valeurs de t1, t2, t3 ci-dessus, la relation ci-dessus s'écrit
1/T = 1/1470 + 1/t4 (1) Résolution de l'égalité (1)
T (exprimé en secondes) est un entier
t4 entier vérifie la double inégalité 6600 s ≤ t4 < 7200 s (INE)
Puisque t4 > 0, la relation (1) montre que T < 1470 A partir de (1), on a
1470 t4 = T(1470 + t4)
On peut ajouter (1470)² aux deux membres pour faire apparaître le facteur facteur (1470 + t4) : 1470(1470 + t4) = T(1470 + t4) + 1470²
(1470 – T) (1470 + t4) = 1470² (2)
Cette factorisation montre que (1470 – T) et (1470 + t4) sont des diviseurs de 1470² que l'on peut grouper ainsi par paires (un élément < 1470 et un élément > 1470)
Plus précisément :
1470 = 2.3.5.7² → 1470² = 2².3².5².74 Ainsi 1470² possède 3x3x3x5 = 135 diviseurs
Parmi ceux-ci 67 sont donc inférieurs à 1470 , 67 sont supérieurs à 1470 et ''1470'' est le 135ième
→ Parmi les 67 diviseurs de la forme (1470 – T) inférieurs à 1470 , figure(ent) le (ou les ) solutions à (1)
Limites imposées à t4 par les inégalités (INE)
Avec (INE) → 8070 ≤ (1470+t4 < 8670
Cela implique l'encadrement suivant pour (1470 – T ) = 1470² / (1470+t4)
249,29 … < (1470 – T ) ≤ 267,76 … soit donc
250 ≤ (1470 – T ) ≤ 267 (3)
La décomposition en facteurs premiers des entiers de l'intervalle défini par (3) montre directement que → un seul d'entre eux est diviseur de 1470² = 2².3².5².74 , il s'agit de 252
→ 252 = 2².3².7
Conclusion : le temps T de remplissage, quand les quatre orifices fonctionnent simultanément, est donné par T = 1470 – 252 → T = 1218 s
Remarque : cela fournit aussi les chiffres effacés dans le temps pour t4, temps de remplissage par l’œil gauche : 1470 + t4 = 1470² / 252 → t4 = 8575 s
soit t4 = 1h 58min 25s
