631. Jeux de billes
Q1 Dix enfants ont chacun cent billes dans leur cartable et s'adonnent au jeu suivant : à chaque tour, un enfant donne une bille à chacun des neuf autres enfants. Déteminez le nombre minimal de tours à l'issue desquels les enfants ont des nombres de billes différents dans leur cartable. Justifiez votre réponse.
Q2 Cent enfants ont chacun cent billes dans leur cartable et s'adonnent au jeu suivant: à chaque tour, un enfant choisit un groupe d'enfants (dans lequel il y a au moins un enfant) et donne une bille à chacun des enfants appartenant à ce groupe. Déterminez le nombre minimal de tours à l'issue desquels les enfants ont des nombres de billes différents dans leur cartable.Justifiez votre réponse.
Question 1 :
Il faut et il suffit que chaque enfant ait joué un nombre de tours différent. En effet, si deux enfants ont joué chacun m fois sur les n tours, ils ont donné 9m billes et en ont empoché (n- m). Ils ont au final le même nombre de billes.Il faut donc au minimum 45 tours.
Si les dix enfants jouent respectivement de 0 à 9 fois, cela suffit à respecter la consigne :
Enfant 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Nombre de tours de jeu 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Billes données 0 9 18 27 36 45 54 63 72 81
Billes reçues 45 44 43 42 41 40 39 38 37 36
Nombre final de billes 145 135 125 115 105 95 85 75 65 55
Question 2 :
Avec moins de 50 tours, 49 enfants ont donné et/ou reçu des billes. 51 enfants n'ont fait qu'en recevoir et ils n'ont pu en recevoir qu'un nombre compris entre 0 et 49 soit 50 possibilités.Deux de ces 51 enfants au moins auront donc le même nombre de billes.
Il faut donc au minimum 50 tours.
Si le premier donne une bille à chacun des autres excepté le 100, puis le second à tous les autres sauf les deux derniers … et ainsi de suite...
Enfants 1 2 3 4 5 6 ... 95 96 97 98 99 100
donneur / receveurs 2 101 101 101 101 101 ... 101 101 101 101 101 100
donneur / receveurs 3 4 102 102 ... 102 102 101 100
donneur / receveurs 4 5 6 103 ... 103 102 101 100
donneur / receveurs 5 6 7 8 104 104 ... 104 104 103 102 101 100 donneur / receveurs 6 7 8 9 10 105 ... 105 104 103 102 101 100 donneur / receveurs 7 8 9 10 11 12 ... 105 104 103 102 101 100
… … etc … … puis aux tours n°48, 49 et 50, un petit ajustement :
Enfants 1 2 3 ... 48 49 50 51 52 53 ... 99 100
donneur / receveurs 49 50 51 ... 96 148 148 148 148 147 ... 101 100 donneur / receveurs 49 51 52 ... 97 98 149 149 149 147 ... 101 100 donneur / receveurs 49 51 52 ... 97 98 150 149 148 147 ... 101 100
