A385. Têtes de séries
Q1 Nous sommes trois entiers positifs distincts à sept chiffres communément appelés nombres de Niven (ou encore nombres Harshad) qui sont divisibles par la somme de leurs chiffres (en base 10).
Nous avons les caractéristiques suivantes :
- chacun de nous est le premier terme d’une suite de cinq entiers consécutifs croissants qui sont eux aussi des nombres de Niven,
- nous avons la même somme de nos chiffres respectifs qui est un nombre premier et parmi les sommes des chiffres des quatre entiers qui nous suivent, on trouve deux puissances parfaites d’ordre ≥ 2.
Qui sommes-nous ?
Q2 Je suis un nombre de Niven à neuf chiffres. Les huit entiers qui me suivent ont la même propriété et parmi les sommes de leurs chiffres on trouve un nombre premier et deux puissances parfaites d’ordre ≥ 2.
Qui suis-je?
Solution proposée par Gaston Parrour
Q1 Trois entiers positifs distincts à sept chiffres divisibles par la somme de leurs chiffres où chacun - est le premier terme d’une suite de cinq entiers consécutifs croissants (également nombres de Niven), - a la même somme des chiffres respectifs laquelle est un nombre premier, et parmi les sommes des chiffres des quatre entiers qui suivent, on trouve deux puissances parfaites d’ordre ≥ 2.
Dans la suite, n1 n2 et n3 désignent les 3 nombres ''têtes de série'' cherchés La somme S de leurs 7 chiffres est bien sur majorée par 7x 9 = 63
N.B. En admettant que les sommes des chiffres des nombres qui suivent chaque tête de série forment aussi une suite d'entiers consécutifs croissants, alors :
→ pour l'une quelconque de ces 3 séries de 5 nombres , on a les sommes S S+1 S+2 S+3 S+4 Avec cela et compte tenu des éléments donnés :
(a) S est premier
(b) parmi S+1, …, S+4 il y deux puissances parfaites d'ordre >1
Au sens défini par (a) (pas d'autre nombre premier dans les 4 sommes différentes de S), on peut alors explorer les possibilités pour la suite [S → S+4 ] avec S premier et S ≤ 63
A partir de S ≤ 63 , par valeurs décroissantes de S,
→ la ''fenêtre'' de 5 nombres qui vérifient ces conditions est
S = 23 S+1 = 24 S+2 = 52 S+3 = 29 S+4 = 33 Recherche des trois nombres n1 n2 n3
Un nombre n est égal à la somme de ses chiffres (modulo 9) → n = S + K9 Si n est divisible par S quelconque (S ≠ 9), on a K=mS → n = S(1+9m) Ici S = 23 , et comme précisé, on admet que n+1 est divisible par 24 , n+2 par 25 , Cela permet d'écrire n = 23(1+9m)
n+1 = 24 + 23.9.m divisible par 24 → 23.9.m = K1 .24 23.3.m = K1.8
8 premier avec 23.3 divise m → m = 8.p1 On poursuit avec les nombres qui suivent n et n+1
n+2 = 25 + 23.9.8.p1 divisible par 25 → 23.9.8.p1 = (K2).25 → p1 = 25.p2 n+3 = 26 + 23.9.8.25.p2 divisible par 26 → 23.9.8.25.p2 = (K3).26 → p2 = 13.p3 n+4 = 27 + 23.9.8.25.13.p3 divisible par 27 → 23.9.8.25.13.p3 = (K4).27 → p3 = 3.p4 Un nombre n qui satisfait aux hypothèses et données précédentes est donc de la forme
==> n = 23 ( 1 + 9.8.25.13.3.p4)
où p4 est un entier a priori quelconque
→ Peut-on trouver 3 entiers ''p4'' différents tels que les trois n correspondants sont à 7 chiffres et la somme des chiffres de chacun de ces 3 nombres n est S = 23 ?
p4 = 1 → n1 = 1 614 623 pour lequel S = 23
(les 4 suivants sont divisibles par la somme de leurs chiffres respectifs 24, … , 27)
p4 = 2 → n2 = 3 229 223 où S = 23
(les 4 suivants sont divisibles par la somme de leurs chiffres respectifs) p4 = 3 n = 4 843 823 ici S ≠ 23 → cet entier n n'est pas retenu
p4 = 4 n = 6 458 423 ici S ≠ 23 → cet entier n n'est pas retenu p4 = 5 → n3 = 8 073 023 où S = 23
( les 4 suivants sont divisibles par la somme de leurs chiffres respectifs) p4 = 6 n = 9 687 623 ici S ≠ 23 → cet entier n n'est pas retenu
Pour p4 > 6 , on a affaire à des nombres de plus de 7 chiffres
Conclusion Les trois nombres ''têtes de série'' dans les conditions définies dans l'énoncé sont ==> n1 = 1 614 623 n2 = 3 229 223 n3 = 8 073 023
Q2 Un nombre de Niven à neuf chiffres tel que
Les huit entiers suivants ont la même propriété et parmi les sommes de leurs chiffres, on trouve un nombre premier et deux puissances parfaites d’ordre ≥ 2.
En repartant de la même hypothèse que dans la question Q1 (à savoir) :
N.B. Les sommes des chiffres des nombres qui suivent une tête de série forment aussi une suite d'entiers consécutifs croissants
→ Avec cette hypothèse ajoutée on a :
Si S est la somme des 9 chiffres de n → S ≤ 81
pour les 8 nombres suivants, les sommes seront respectivement S+1 S+2 … S + 8 Dans l'ensemble {S, …, S+8} , il y a
- un nombre premier (et un seul !) - deux puissances parfaites (ordre > 1)
→ Alors, comme dans Q1, en considérant une ''fenêtre'' de 9 entiers consécutifs dont le premier (S) est au plus égal à 81, la suite des sommes (de chiffres) qui satisfait aux conditions précédentes est
S = 20 S+1 = 21 S+2 = 22 S+3 = 23 (premier) S+4 = 24 S+5=52 S+6 = 26 S+7=33 S+8=28 → Avec cela, en reprenant les notations de Q1 :
n = 20(1+9m)
n+1 = 21+20.9.m divisible par 21 → 20.9.m = 21(K1) 20.3.m = 7(K1) → m = 7.p1 On poursuit de façon identique avec n+2 divisible par 22 , n+3 divisible par 23 , …
→ On arrive ainsi (jusqu'à n+7) à n = 20 (1 + 9.7.11.23.5.13.3.p7) Il reste alors à réaliser
n+8 = 28 + 20. 9.7.11.23.5.13.3.p7 divisible par 28 soit → 20. 9.7.11.23.5.13.3.p7=28.(K8) Cette dernière égalité est d'emblée satisfaite ; donc → l'entier p7 est le paramètre libre restant, sachant que pour satisfaire aux conditions qui précèdent, n est donc de la forme
n = 20(1 + 9.7.11.23.5.13.3.p7) → Il reste à vérifier qu'il existe des valeurs de p7 telles que - les entiers n correspondants soient à 9 chiffres - S la somme des chiffres des n retenus soit S = 20
- les huit nombres entiers qui suivent sont divisibles (respectivement) par S+ 1 S+2, … , S+8 → Avec la première valeur de l'entier p7 = 1 , on obtient
n = 124 324 220
==> Cet entier n satisfait aux 3 contraintes précédentes On vérifie directement :
→ pour toutes les autres valeurs de l'entier p7 (en particulier jusqu'à p7 = 8 pour lesquelles on a encore un nombre n à 9 chiffres) que le dernier critère n'est pas rempli.
(''les huit entiers suivants sont divisibles par la somme de leur chiffres'')
Conclusion
==> Le seul nombre (à 9 chiffres) n = 124 324 220 satisfait aux conditions de l'énoncé.
