A338. Les nombres qui se font hara-kiri
On choisit k nombres entiers naturels positifs distincts a,b,c,...e. Un entier naturel positif se fait hara-kiri jusqu’au niveau k s’il remplit les conditions suivantes :
- il a au moins k + 1 chiffres non nuls, - c’est un multiple des k nombres a,b,c,...e,
- on choisit un premier chiffre non nul que l’on supprime et le nombre résultant reste un multiple des k nombres,
- on opère de la même manière en choisissant un 2ème chiffre non nul que l’on supprime...et enfin un kième chiffre non nul que l’on supprime de telle sorte qu’à chaque étape les nombres résultants restent des multiples des k nombres.
Par exemple, si l’on choisit les deux entiers 3 et 6, le nombre 396 peut se faire hara-kiri jusqu’au niveau 2 car c’est un nombre à 3 chiffres,c’est un multiple de 3 et de 6 et en supprimant repectivement 3 puis 9, on obtient 96 puis 6 qui sont toujours des multiples de 3 et de 6.On pourrait également supprimer 9 puis 3 qui donnent 36 et 6 également multiples de 3 et de 6.
Q Trouver un nombre entier le plus petit si possible qui se fait hara-kiri jusqu’au niveau 3 avec les trois₁ nombres premiers 5,7 et 11.
Q Montrer que quels que soient les k entiers positifs distincts a,b,c..., on sait toujours fabriquer un entier qui se₂ fait hara-kiri jusqu’au niveau k.
Solution proposée par Gaston Parrour
Q1
Trouver un nombre entier le plus petit si possible qui se fait hara-kiri jusqu’au niveau 3 avec les trois nombres premiers 5,7 et 11Dans ce qui suit Nk désigne le nombre résultant après k suppressions de chiffres ; ainsi N0 est le nombre de départ
Puisque après 3 suppressions de chiffres (ici), l'entier résultant reste multiple de 5,7 et 11, cet entier résultant N3 est le plus petit multiple du PPCM compatible avec les contraintes de l'énoncé.
Pour tâcher de répondre à la contrainte « le plus petit possible », j'utilise une approche pas à pas, à savoir : construire le nombre initial N0 à partir du nombre N3 le plus petit possible décrit précédemment (résultant de 3 suppressions successives de chiffres).
Pour cela,
tout d'abord ICI :
– le PPCM de 5, 7, 11 est m = 385
– tout nombre construit à partir de N3=Km (K entier), en insérant un chiffre, reste multiple de 5 – à partir des diverses valeurs K=1,2,3, … , on peut rechercher quel chiffre insérer dans N3 de façon à
ce que le nombre résultant N2 soit encore multiple de 11
– il faut alors pour chaque candidat N2 ainsi trouvé , vérifier s'il est divisible par 7,
ensuite on passera à N1 en ajoutant un chiffre (qui convient) à N2, puis à N0 par ajout d'un chiffre convenable à N1
La divisibilité par 11 est ici aisée à mettre en oeuvre car alors :
somme des chiffres de rang pair = somme des chiffres de rang impair (mod 11)
On vérifie rapidement que pour K de 1 à 8, on ne peut créer un nombre N2, à partir de N3, qui soit à la fois multiple de 11 et de 7
Pour K = 9 :
N3=9m soit N3=3465 Dans ce qui suit, x désigne le chiffre à insérer dans N3 : 0<x<10 Ainsi on a affaire aux nombres N2 possibles suivants :
x3465 divisibilité par 11 ? => 9 +x = 9 et x=0 exclu
3x465 --- => 12=6+x et x=6 mais 36465 non divisible par 7 34x65 --- => 8+x=10 et x= 2 et N2=34265 est divisible par 7 346x5 --- => 14=4+x et x=10 exclu
Et x en position unité est égal à zéro (car les chiffres de N3 vérifient a priori la divisibilité par 11)
Remarque : on peut noter ici que la divisibilité par 11, conduit systématiquement à une valeur de x = 10 ou 0 lorsqu'il est inséré devant le chiffre des unités – rang 1, ou en tant que chiffre des unités - rang 0 ou encore à la gauche du nombre nombre considéré.
Le passage à N2 se fait en utilisant la même méthode, et compte tenu de la remarque précédente, il suffit de se restreindre aux insertions possibles de x dans N2 et au delà du rang 1.
Le résultat est : l'insertion de x=2 au rang 2 (ou au rang 3) conduit à N1 = 342265 divisible par 5, 7 et 11
On note ici que l'insertion du même chiffre 2 - au rang 2 (devant les deux derniers chiffres à droite) -, produit le passage de N2 au nombre désiré N1 (comme ceci avait eu lieu pour le passage de N3 à N2).
Compte tenu de ces remarques, le nombre N0 (nombre d'origine), obtenu à partir de N1 en insérant une dernière fois le chiffre 2 (ici) au rang 2, doit être le nombre de départ cherché.
Cela se vérifie simplement, et donc
N0 = 3422265 divisible par 5, 7, 11 est proposé comme le plus petit nombre à se faire hara-kiri jusqu'au niveau 3 avec ces nombres premiers.
Q2 Q
uels que soient les k entiers positifs distincts a,b,c..., on sait toujours fabriquer un entier qui se fait hara- kiri jusqu’au niveau k.
Du cas particulier précédent, on peut utiliser les éléments suivants : 1 – on forme le PPCM des k entiers donnés ; soit m ce PPCM
Ce PPCM a au moins 1 chiffre non nul. S'il sert de point de départ pour reconstituer le nombre initial N0, celui-ci aura au moins k+1 chiffres non nuls.
2 – On sait qu'après le retrait de k chiffres (non nuls), le nombre résultant Nk est un multiple de m Nk = a
n10n +a
n-110n-1 + … + a
r10r +... +a
0 = Km où K est un entier non nul Ainsi le chiffre a
r intervient par a
r10r dans l'a valeur de Nk. Le chiffre des unités a
0 occupe le rang 0.
A partir de cela :
L'introduction au rang r d'un chiffre p, 0<p<10 produit un nouveau nombre Nk-1
Ecrivons Nk sous la forme Nk = Ar10r + Br = Km où l'expression de Ar et Br se déduisent de celle de Nk donnée ci-dessus
alors Nk-1 = Ar10r+1 + p10r + Br Le PPCM m divise aussi N
k-1, donc m divise leur différence
m | 10r(9Ar + p) ( 1 ) Ceci peut s'exprimer aussi sous la forme
m | 9(Km – Br) + p10r
soit donc m | p10r - 9 Br ( 2 ) Il faut noter que si la condition (1) est remplie alors nécessairement la condition (2) aussi
N.B. Br est constitué par les r chiffres les plus à droite de Nk = Km
Mise en œuvre de ces deux relations pour reconstituer un nombre N0 d'origine
La relation (1) montre qu'il suffit de trouver Ar et p tels que (9Ar + p) soit multiple de m.
On peut ainsi choisir
m = 9Ar + p ( 3 ) Cette relation détermine alors directement Ar et le chiffre p à insérer, avec 0<p<9
La détermination de Br (et de r) se fait ensuite à partir de la condition (2) ci-dessus, nécessairement satisfaite si la condition (1) est remplie :
il existe au moins une solution à la relation
p10r = 9Br (mod m)
Autrement dit, il existe nécessairement au moins un entier L tel que l'équation
p10r = 9Br + Lm ( 4 ) possède une solution acceptable : Br entier positif. Cette solution doit être cohérente.
Par exemple si une solution Br possède deux chiffres, alors au premier membre l'exposant r doit être égal à 2.
Cela conduit alors à
Nk = Ar10r + Br = Km Nk-1 = Ar10r+1 + p10r + Br = K'm
Montrons que le même chiffre d'insertion p mis au rang r+1 peut être utilisé pour passer de Nk-1 à Nk-2
On écrit Nk-2 = Ar10r+2 + p10r+1 + p10r + Br = Ar10r+2 + p10r+1 + Br' avec Br' = p10r + Br
A nouveau si m divise Nk-1 et Nk-2 , m divise leur différence Nk-2 – Nk-1 = 10r+1 (9Ar+p)
L'équation (3) qui a déterminé Ar et p, implique bien sûr que m divise cette différence Et de même on retrouve la condition (2) à partir de ceci. En effet :
Nk-2 – Nk-1 = 9(K'm – Br') + p10r+1 et donc m | p10r+1 - 9 Br' , soit en explicitant Br' : m | p10r – 9 Br (condition (2))
Par conséquent, il suffit alors d'introduire au rang r systématiquement le chiffre p déterminé à la première étape ; cela k fois (autant de fois qu'il y a de nombres donnés). On « remonte » ainsi à N0.
Application de cette méthode à la question 1
Avec le PPCM de 5, 7, 11 : m = 5.7.11 = 385, la relation (3) ci-dessus donne Ar = 42 et p = 7 La relation (4) avec L = 1 fournit alors :
7 10r = 9Br + 385 soit 9Br = 7 10r - 385
La première valeur possible pour r est donc 2, et dans ce cas 9Br = 315 qui est un multiple de 9 et conduit à Br = 35
Ce nombre Br à deux chiffres est acceptable car compatible avec r = 2 utilisé comme exposant pour le déterminer.
Donc le nombre N3 = 4235 (= 11m) peut définir le nombre d'arrivée, le nombre de départ étant alors N0 = 4277735 qui se fait hara-kiri jusqu'au niveau 3 avec 5, 7, 11.
On peut remarquer que ce nombre est plus grand que celui obtenu à la question Q1 .
Cela n'est pas surprenant car la détermination de Ar et de Br n'a été faite ICI qu'à partir de conditions suffisantes et de choix non optimisés : par exemple L= +1 pour la relation (4).
Dans cet exemple Q1, si on reprend la relation (4) avec L=-1, on voit que p10r = 9Br – 385 a une solution acceptable : 9Br=585 i.e. Br=65 et donc p10r = 200 soit p =2 et r = 2 Alors N3 = Ar102 + 65 = K x 385 Ce qui conduit à K = 9 et Ar = 34 On retrouve ainsi N3 = 3465 et N0 = 3422265 déterminés question Q1.
