A389. Les décaXphobes ***
Q1− Trouver 78 entiers consécutifs strictement positifs, appelés décatriaphobes dont la somme des chiffres n’est jamais divisible par 13.
Q2− Trouver le plus grand nombre possible>100 d’entiers (décaheptaphobes) consécutifs strictement positifs dont la somme des chiffres n’est jamais divisible par l’entierk=17.
Même question aveck=19 (entiers décaennéaphobes).
Q3− Pour les plus courageux : décrire une méthode permettant de trouver le plus petit entierktel qu’il existe au moins 2021 entiers consécutifs strictement positifs dont la somme des chiffres n’est jamais di- visible park.
Solution de Claude Felloneau
Pour tout entiern, on notes(n) la somme des chiffres den.
Q1− Les 78 entiers consécutifs 9999999961, 9999999962, ..., 10000000038 sont des décatriaphobes.
En effet,
- si 99999999616n 69999999999, s(n)=8×9× +a+b =72+a+b avec 66a 69 et 06b 69 et (a,b)6=(6, 0) donc 796s(n)690 d’oùs(n) n’est pas divisible par 13.
- si 100000000006n610000000038,s(n)=1+a+b avec 06a63 et 06b69 et (a,b)6=(3, 9) donc 16s(n)612 d’oùs(n) n’est pas divisible par 13.
Q2− Le plus grand nombre possibleNkd’entiers consécutifs strictement positifs dont la somme des chiffres n’est pas divisible parkest 158 pourk=17 et 198 pourk=19.
Plus généralement, on peut démontrer que siq est le quotient etr le reste de la division euclidienne de k−1 par 9 alorsNk62(r+1).10q−2 avec égalité sikn’est pas divisible par 3.
- Pourk=17,q=1 etr=7 doncN17=2×8×10−2=158.
- Pourk=19,q=2 etr=0 doncN19=2×1×102−2=198.
Q3− Le plus petit entierkpour lequel il existe au moins 2021 entiers consécutifs dont la somme des chiffres n’est pas divisible parkest 29.
Sik627,q62 donc 2(r+1).10q−261800−2=1798 doncNk<2021.
Sik=28,q=3 etr=0 donc 2(r+1).10q−261998 doncNk<2021.
Sik=29,q=3 etr=1 doncN29=4.103−2=3998>2021. est le plus petit entier tel queNk>2021.
Preuve du résultat énoncé dansQ2
On ak−1=9q+r avec 06r68.
Le plus petit entier tel ques(n)=k−1 estp=r9...9
|{z}
qfois
soitp=(r+1).10q−1.
SoitLune liste croissante deN entiers consécutifs dont la somme des chiffres n’est pas divisible park.
En prolongeant éventuellement cette suite, on peut supposer que sia+1 est le premier des entiers alors s(a) ets(a+N+1) sont divisibles park.
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• SiLne contient aucun multiple de 10q+1, il existe un entiermtel que m.10q+16a<a+N+16(m+1).10q+1 On a alorsa=m.10q+1+aqaq−1...a0avec 06ai69 pour 06i6q.
— Siaq>9−r, on a
N6(m+1).10q+1−(a+1)6(m+1).10q+1−m.10q+1−aq.10q−16(10−aq).10q−1 doncN6(r+1).10q−16p.
— Siaq<9−r et s’il existeitel que 06i<q etai>1, en posanta0=a+10q−10i on aa0>aet s(a0)=s(a) donckdivises(a0) d’oùa+N+16a0.
AinsiN<a0−a=10q−10i610q−16(r+1).10q−16p.
— Siaq<9−ret pour toutitel que 06i<qon aai=0, en posanta0=(r+2).10q−1=a+(r+1) 9...9
|{z}
qfois
=m.10q+1+(r+1+aq) 9...9
|{z}
qfois
carr+1+aq<10.
On aa0>aets(a0)=s(m)+(r+1+aq)+9q=s(m)+aq+9q+r+1=s(a)+kdonckdivises(a0) d’oùa+N+16a0.
AinsiN6a0−a−16(r+2).10q−262(r+1).10q−262p.
Dans tous les cas, on aN62p.
• SiLcontient un multiple de 10q+1,Lest une listem.10q+1−b,m.10q+1−b+1, ...,m.10q+1,m.10q+1+1, ...,m.10q+1+coùbetcsont deux entiers etN=b+c+1.
Pourn=m.10q+1+uavec 06u<10q+1, on as(n)=s(m)+s(u).
Pourn0=m.10q+1−vavec 16v<10q+1, on an=(m−1).10q+1+1+
99...9
| {z }
q+1 fois
−v
doncs(n0)=s(m−1)+1+9(q+1)−s(v)=s(m−1)+9−r+k−s(v).
— Sic>p, lorsqueuprend les valeurs 0, 1, ...,c,s(u) prend toutes les valeurs 0, 1, 2, ...,k−1 donc toutes les valeurs possibles moduloket il en est de même des(n) doncLcontient au moins un entier dont la somme des chiffres est divisible park.
— Sib>p+1, lorsquevprend les valeurs 0, 1, 2, ...,b,s(v) prend toutes les valeurs 0, 1, 2, ...,k−1, donc toutes les valeurs possibles modulok et il en est de même des(n0) doncLcontient au moins un entier dont la somme des chiffres est divisible park.
CommeLne contient que des entiers dont la somme des chiffres n’est pas divisible park,c6p−1 et b6pdoncN=b+c+162p.
• On peut donc conclure queNk62p.
• Sikn’est divisible par 3 alors il existe un entiermtel que la listeLmdes entiersm.10q+1−p,m.10q+1− p+1, ...,m.10q+1,m.10q+1+1, ...,m.10q+1+p−1 comporte 2pentiers consécutifs dont la somme des chiffres n’est pas divisible park.
Lorsqueuprend les valeurs de 0 àp−1,s(u) prend toutes les valeurs 0, 1, 2, ...,k−2 doncs¡
m.10q+1+u¢ prend toutes les valeurs s(m), s(m)+1, ..., s(m)+k−2 modulok. Il suffit donc de choisirm tel que s(m)≡1 [k] pour que lespderniers entiers de la listeLm soient des entiers dont la somme des chiffres n’est pas divisible park.
Lorsquevprend les valeurs de 1 àp,s(v) prend toutes les valeurs 1, 2, ...,k−1 doncs¡
m.10q+1−u¢ prend toutes les valeurss(m−1)+(9−r)+1,s(m−1)+(9−r)+2, ...,s(m−1)+(9−r)+k−1 modulok.
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Il suffit donc de choisirmtel ques(m−1)≡r−9 [k] pour que lesppremiers entiers de la listeLmsoient des entiers dont la somme des chiffres n’est pas divisible park.
Commes¡
10d−1¢
=9d, il suffit donc de prendrem=10davecd∈N∗tel que 9d≡r−9[k].
Sikn’est pas divisible par 3,kest premier avec 9 et donc un tel entierdexiste.
Ainsi, sikn’est pas divisible par 3,Nk=2p=2(r+1).10q−2.
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