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xn des r´eels strictement positifs

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Sup PCSI2 — Devoir 2006/03

Q1 Soit p∈N et a∈R+. ´Etudiez les variations de la fonction f : t > 07→(p−1)t+ ap

tp1, et montrez que f(t)>papour toutt >0.

ISoient n∈N et x1, x2, . . . , xn des r´eels strictement positifs. Notons x= (x1, x2, . . . , xn), m(x) = 1 n

n

X

k=1

xk

etg(x) = n v u u t

n

Y

k=1

xk.

Q2 ´Etablissez g(x) 6 m(x) ; vous proc´ederez par r´ecurrence sur n, en utilisant l’in´egalit´e de Q1 avec t= n

v u u t

n

Y

k=1

xk, et un choix judicieux deaet p.

INotonsh(x) le r´eel d´efini par la relation 1 h(x) = 1

n

n

X

k=1

1 xk

.

Q3 ´Etablissezh(x)6g(x).

Iu0,v0et w0 sont trois r´eels qui v´erifient 0< w06v06u0. Q4 Montrez que les relations de r´ecurrence

un+1= un+vn+wn

3 vn+1=√3

unvnwn

1 wn+1

= 1 3

1 un

+ 1 vn

+ 1 wn

permettent de d´efinireffectivementtrois suites (un), (vn) et (wn) de r´eels strictement positifs.

Q5 ´Etablissez 0< wn6vn 6un pour toutn∈N.

Q6 Montrer que les suites (un) et (wn) sont monotones, en pr´ecisant le sens de variation de chacune d’elles.

Q7 Montrer que les suites (un) et (wn) convergent.

Q8 Pourn∈N, ´etablissez l’´egalit´eun+1−wn+16 2

3(un−wn).

Q9 En d´eduire que les trois suites (un), (vn) et (wn) convergent vers la mˆeme limite.

Q10 Pour quelsn-upletsx= (x1, x2, . . . , xn) de r´eels strictement positifs a-t-on l’´egalit´eg(x) =m(x) ? Q11 Qu’en-est-il de l’´egalit´eh(x) =g(x) ?

[Devoir 2006/03] Compos´e le 4 f´evrier 2007

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