Sup PCSI2 — Devoir 2006/03
Q1 Soit p∈N∗ et a∈R∗+. ´Etudiez les variations de la fonction f : t > 07→(p−1)t+ ap
tp−1, et montrez que f(t)>papour toutt >0.
ISoient n∈N∗ et x1, x2, . . . , xn des r´eels strictement positifs. Notons x= (x1, x2, . . . , xn), m(x) = 1 n
n
X
k=1
xk
etg(x) = n v u u t
n
Y
k=1
xk.
Q2 ´Etablissez g(x) 6 m(x) ; vous proc´ederez par r´ecurrence sur n, en utilisant l’in´egalit´e de Q1 avec t= n
v u u t
n
Y
k=1
xk, et un choix judicieux deaet p.
INotonsh(x) le r´eel d´efini par la relation 1 h(x) = 1
n
n
X
k=1
1 xk
.
Q3 ´Etablissezh(x)6g(x).
Iu0,v0et w0 sont trois r´eels qui v´erifient 0< w06v06u0. Q4 Montrez que les relations de r´ecurrence
un+1= un+vn+wn
3 vn+1=√3
unvnwn
1 wn+1
= 1 3
1 un
+ 1 vn
+ 1 wn
permettent de d´efinireffectivementtrois suites (un), (vn) et (wn) de r´eels strictement positifs.
Q5 ´Etablissez 0< wn6vn 6un pour toutn∈N.
Q6 Montrer que les suites (un) et (wn) sont monotones, en pr´ecisant le sens de variation de chacune d’elles.
Q7 Montrer que les suites (un) et (wn) convergent.
Q8 Pourn∈N, ´etablissez l’´egalit´eun+1−wn+16 2
3(un−wn).
Q9 En d´eduire que les trois suites (un), (vn) et (wn) convergent vers la mˆeme limite.
Q10 Pour quelsn-upletsx= (x1, x2, . . . , xn) de r´eels strictement positifs a-t-on l’´egalit´eg(x) =m(x) ? Q11 Qu’en-est-il de l’´egalit´eh(x) =g(x) ?
[Devoir 2006/03] Compos´e le 4 f´evrier 2007