ECS 1Dupuy de Lˆome Semaine du 18 octobre 2004
Programme de colles S7
NB : Le programme de colle porte sur les espaces probabilis´es finis (S6), plus ce qui suit :
L’ensemble des nombres r´ eels
Th´eor`eme.— Propri´et´e de la borne sup´erieure, dans R et dansR¯ Toute partie deRposs`ede une borne sup´erieure dans ¯R.
Plus pr´ecis´ement
– siA est une partie non vide et major´ee deR, alors supA=. . . – siA est une partie non vide et non major´ee deR, alors supA=. . . – siA est la partie vide deR, alors supA=. . .!
Proposition?.— In´egalit´es triangulaires Pour tous nombres r´eels xet y,
|x+y| ≤ |x|+|y| et |x−y| ≥
|x| − |y|
D´efinition : Soitx∈R, on appellepartie enti`eredexl’entier relatif not´ebxc, d´efini parbxc= max{n∈Z|n≤x}.
C’est l’unique entier v´erifiant l’encadrement :
bxc ≤x <bxc+ 1 Proposition.— La partie enti`ere v´erifie les propri´et´es suivantes :
1. (∀x∈R), bxc ≤x <bxc+ 1.
2. (∀x∈R), x−1<bxc ≤x.
3. (∀x∈R), (x=bxc ⇐⇒ x∈Z).
4. (∀x∈R),(∀n∈Z), bx+nc=bxc+n.
5. (∀(x, y)∈R2) (x≤y⇒ bxc ≤ byc).
Fonctions monotones
D´efinition : Une fonctionf ∈ F(I,R)est dite
1. croissante (resp.strictement croissante) surI si . . . 2. d´ecroissante (resp.strictement d´ecroissante) surI si . . .
Proposition?.— Soitf ∈ F(I,R) alors
1. f est strictement croissante si et seulement si f est croissante et injective.
2. f est strictement d´ecroissante si et seulement si f est d´ecroissante et injective.
Proposition?.— Op´erations sur les fonctions monotones
Soientf, g∈ F(I,R) deux applications d´efinies sur un intervalleI deRet λ∈R+ un r´eel positif.
1. Sif etg sont croissantes alorsf +gest croissante.
2. Sif est croissante alorsλf est croissante.
3. Sif est croissante, alors−f est d´ecroissante.
4. Sif etg sont croissantes et positives, alorsf×g est croissante.
5. Sif etg sont d´ecroissantes et positives, alorsf×g est d´ecroissante.
Proposition?.— Composition des fonctions monotones
Soientf ∈ F(I,R),g∈ F(J,R) deux applications telles quef(I)⊂J, 1. Sif etg sont croissantes, alorsg◦f est croissante.
2. Sif etg sont d´ecroissantes, alorsg◦f est croissante.
3. Sif est croissante,g est d´ecroissante, alors g◦f est d´ecroissante.
1
4. Sif est d´ecroissante,g est croissante, alorsg◦f est d´ecroissante.
Fonctions usuelles
Pour chacune des fonctions logarithme n´ep´erien, exponentielle, puissance d’exposant α, sinus , cosinus et tangente, sont exig´es
– les graphes ;
– les propri´et´es de monotonie ;
– les propri´et´es d’injectivit´e, surjectivit´e, bijectivit´e (de ces fonctions ou de leurs restrictions `a des intervalles appropri´es) ;
– les propri´et´es de sym´etries (parit´e, p´eriodicit´e et autres . . .) ; – ainsi que les r`egles de calcul rappel´ees ci-dessous.
Th´eor`eme.— R`egles de calcul pour le logarithme
∀(x, y)∈R+?×R+?, ln(x×y) = lnx + lny On en d´eduit, pour tout couple (x, y)∈R+?×R+?, de r´eels strictement positifs
1. ln 1 = 0 et lne= 1 2. ln(x
y) = lnx−lny
3. ln(1
x) =−lnx
4. ∀α∈R, lnxα=αlnx Th´eor`eme.— R`egles de calculs pour les exponentielles
∀(x, y)∈R2, exp(x+y) = expx×expy On en d´eduit, pour tout couple (x, y)∈R×Rde r´eels
1. exp 0 = 1 et exp 1 =e 2. exp(x−y) = expx
expy
3. exp(−x) = 1 expx
4. ∀α∈R, (expx)α= exp(αx) Th´eor`eme.— R`egles de calculs pour les fonctions puissances
Pour tous nombres r´eels non nulsα, β, pour tous nombres r´eels strictement positifsxety, on a : 1. xα= exp α×lnx)
2. xα×xβ=xα+β 3. xα
xβ =xα−β
3. xαβ
=xα×β 4. xα×yα= x×yα
5. xα yα = x
y α
Proposition.— R`egles de calculs pour les fonctions trigonom´etriques
∀x∈R, cos2x+ sin2x= 1 formules d’addition
1. cos(a+b) = cosacosb−sinasinb 2. cos(a−b) = cosacosb+ sinasinb 3. sin(a+b) = sinacosb+ cosasinb 4. sin(a−b) = sinacosb−cosasinb
formules de duplication 1. cos 2a= cos2a−sin2a
= 1−2 sin2a
= 2 cos2a−1 2. sin 2a= 2 sinacosa
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