̂COR
̂COR
Définitions
Dans un triangle rectangle,
• le sinus d'un angle aigu est le quotient de la longueur du côté opposé à cet angle par la longueur de l'hypoténuse ;
• le cosinus d'un angle aigu est le quotient de la longueur du côté adjacent à cet angle par la longueur de l'hypoténuse ;
• la tangente d'un angle aigu est le quotient de la longueur du côté opposé
à cet angle par la longueur du côté adjacent à cet angle.
Exemple :
Le triangle COR est rectangle en R.
Sin̂COR=côtéOpposé à̂COR Hypoténuse =RC
CO CoŝCOR=côtéAdjacent à̂COR
Hypoténuse =RO CO Tan̂COR= côtéOpposé à̂COR
côtéAdjacent à̂COR=RC RO
Remarques :
• Pour retenir facilement ces formules, on peut utiliser le moyen mnémotechnique suivant : SOH – CAH – TOA qui correspond aux initiales en gras dans les formules précédentes.
• Le cosinus et le sinus d'un angle aigu sont toujours compris entre 0 et 1.
• La tangente d'un angle aigu est un nombre strictement positif.
Applications
Exemple 1 :
Dans le triangle LEO rectangle en E, on connait la longueur LO et la mesure de l'anglêELO.
On veut calculer la longueur du segment [OE], puis celle du segment [EL].
Dans le triangle LEO rectangle en E, [LO] est l'hypoténuse ;
[OE] est le côté opposé à l'anglêELO.
On cite les données de l'énoncé qui permettent de choisir la relation trigonométrique à utiliser.
On doit utiliser le sinus de l'anglêELO.
sin̂ELO=côté opposé à̂ELO
hypoténuse On écrit le sinus de l'angle connu.
sin̂ELO=OE
LO La longueur cherchée OE doit apparaitre dans
le rapport.
OE = LO × sin̂ELO On applique la règle des produits en croix.
OE = 5,4 × sin 62° On saisit 5,4 × 62 à la calculatrice.
OE ≈ 4,8 cm OE est inférieur à LO. Le résultat est cohérent.
G3 • Trigonométrie
88
Définitions
Cosinus, sinus et tangente
1
A
B
12 17
33 38 R
O hypoténuse
C
côté opposé
à l'angle côté adjacent à l'angle
5,4 cm 62°
O
L
E
Pour calculer la longueur du segment [EL], on peut utiliser deux méthodes différentes.
Première méthode : On utilise le théorème de Pythagore dans le triangle LEO rectangle en E.
LO2 = OE2 EL2 5,42 ≈ 4,82 EL2
EL2 ≈ 5,42 − 4,82 ≈ 6,12 EL≈
6,12 donc EL≈ 2,5 cm Deuxième méthode : On utilise une deuxième relation trigonométrique.Dans le triangle LEO rectangle en E, [LO] est l'hypoténuse
[EL] est le côté adjacent à l'anglêELO
On cite les données de l'énoncé qui permettent de choisir la relation trigonométrique à utiliser.
On doit utiliser le cosinus dêELO.
coŝELO=côté adjacent à̂ELO
hypoténuse On écrit le cosinus de l'angle connu.
coŝELO= EL
LO La longueur cherchée doit apparaitre dans
le rapport.
EL = LO × coŝELO On applique la règle des produits en croix.
EL = 5,4 × cos 62° On saisit 5,4 × 62 à la calculatrice
EL ≈ 2,5 cm EL est inférieur à LO. Le résultat est cohérent.
Exemple 2 :
Dans le triangle FUN rectangle en U, on connait les longueurs FU et UN.
On veut calculer la mesure de l'anglêUNF , arrondie au degré.
Dans le triangle FUN rectangle en U, [FU] est le côté opposé à l'anglêUNF [UN] est le côté adjacent à l'anglêUNF
On cite les données de l'énoncé qui permettent de choisir la relation trigonométrique à utiliser.
On doit utiliser la tangente dêUNF . tan̂UNF= côté opposé àUNF^
côté adjacent àUNF^ tan̂UNF= UF
UN
On écrit la tangente de l'angle recherché.
tan̂UNF= 5,5
8,2 On saisit puis (5,5 ÷ 8,2)
selon le modèle de calculatrice.
̂UNF≈ 34° On arrondit à l'unité.
Pour tout angle aigûA,
(
coŝA)
2(
sin̂A)
2=1 et tan̂A= sin̂A coŝA. Exemple :On sait que coŝA= 0,8. Grâce à ces formules, on peut en déduire sin̂A , puis tan̂A .
• cos2̂A sin2̂A= 1, donc sin2̂A= 1 − cos2̂A= 1 − 0,82 = 1 − 0,64 = 0,36 Le sinus d'un angle aigu est un nombre positif, donc sin̂A=
√
0,36= 0,6.• tan̂A = sin̂A coŝA =0,6
0,8 = 0,75
Trigonométrie • G3
89
Relations trigonométriques
2
F
U,5 cm5 8,2 cm N
