Dans un triangle rectangle, le côté adjacent à un angle aigu est le côté reliant le sommet de l’angle droit au sommet de l’angle aigu.
Exemple :
L’angle droit est ̂BAC.
Les deux angles aigus sont :̂ABC et̂ACB.
Le côté adjacent à l’angle aigûABC est le côté [AB].
Le côté adjacent à l’angle aigûACB est le côté [AC].
Remarques :
• Le côté adjacent à un angle aigu d’un triangle rectangle n’est jamais l’hypoténuse.
• Les deux angles aigus d'un triangle rectangle sont complémentaires, c'est-à-dire que la somme de leur mesure vaut 90°.
Ainsi, lorsqu'on connait la mesure d'un des angles aigus d'un triangle rectangle, la mesure de l'autre angle aigu s'obtient par simple soustraction. Par exemple, dans le triangle ABC ci- dessous, si l'anglêACB mesure 28°, alors l'anglêABC mesure 90° − 28°, soit 62°.
Dans un triangle rectangle, le cosinus d’un angle aigu est le quotient de la longueur du côté adjacent à cet angle par la longueur de l'hypoténuse.
Exemple :
coŝABC=côté adjacent à̂ABC hypoténuse =AB
BC
coŝACB=côté adjacent à̂ACB hypoténuse =AC
BC
Remarque :
Comme l'hypoténuse est le plus grand des côtés du triangle, le cosinus d'un angle aigu est compris entre 0 et 1.
Cosinus • G2 111
10
Propriété Définition
Vocabulaire
1
Cosinus d'un angle aigu
2
B C
A Côté adja
cent à ACB
hypoténuse Côté adjacent à ABC
B C
A Côté adja
cent à ACB
hypoténuse Côté adjacent à ABC
B C
A
? 28°
11
Pour calculer la longueur du côté adjacent
Exemple :
Dans le triangle LEA rectangle en E, on connait la longueur de l’hypoténuse AL, ainsi que la mesure de l'angle ̂ELA.
Il est possible de calculer la longueur EL.
coŝELA=côté adjacent à̂ELA hypoténuse =EL
LA
On écrit le cosinus de l'angle connu. La longueur cherchée doit apparaitre dans le rapport.
EL = LA × coŝELA On applique la règle des produits en croix.
EL = 5 × cos 50° On vérifie que la calculatrice est en degrés.
On saisit 5 × 50.
EL ≈ 3,2 cm On donne une valeur approchée du résultat
de la calculatrice.
Pour calculer la longueur de l'hypoténuse
Exemple :
Dans le triangle TAP rectangle en T, on connait la mesure de l'angle ̂PAT et la longueur AT du côté adjacent à l'angle ̂PAT.
Il est possible de calculer la longueur PA de l'hypoténuse.
coŝPAT=côté adjacent à̂PAT hypoténuse =AT
PA On écrit le cosinus de l'angle connu.
PA = AT
coŝPAT On applique la règle des produits en croix.
PA = 7 cos 25°
On vérifie que la calculatrice est en degrés.
On saisit 7 ÷ 25.
PA ≈ 7,7 cm On donne une valeur approchée du résultat
de la calculatrice.
Pour calculer la mesure de l'angle
Exemple :
Dans le triangle FUN rectangle en U, on connait la longueur de l’hypoténuse NF et la longueur NU du côté adjacent à l’angle
̂UNF. Il est possible de calculer la mesure de l'angle aigu ̂UNF.
coŝUNF=côté adjacent à̂UNF hypoténuse =NU
NF On écrit le cosinus de l'angle cherché.
coŝUNF=4 6
On remplace chaque longueur par sa valeur numérique.
̂UNF≈ 48°
On saisit, selon le modèle de calculatrice, puis (4 ÷ 6), et on donne une valeur approchée du résultat de la calculatrice.
G2 • Cosinus
112
A
B
C
22
A T
P
25°
7 cm
A L
E 5 cm 50°
U
N
4 cm F
6 cm
Utiliser la formule du cosinus
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