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I. Rappels : cosinus d’un angle aigu Activité à l’ordinateur
Cela permet, dans un triangle rectangle, de calculer des longueurs (voir ex1) ou des mesures d’angles (voir ex2)
Exercice modèle 1
Exercice modèle 2
Chapitre
22 2
Synthèse : Dans un triangle rectangle, le cosinus d’un des 2 angles aigus est le nombre égal à :longueur du coté adjacent
longueur de l'hypoténuse .
Remarque : le cosinus d’un angle aigu est donc un nombre compris entre 0 et 1.
B C
A cos BC
C AC
cos AB
A AC
B C
A 5 cm
43°
Calculer la longueur AC. Arrondir au mm.
Dans le triangle ABC rectangle en B :
B C
A 5 cm
Calculer la mesure de l’angle . Arrondir au degré.
Dans le triangle ABC rectangle en B : 8,2 cm
II. Sinus et tangente d’un angle aigu
Activité (avec l’ordinateur) :
Soient [Ax) et [Ay) deux demi-droites. B et B’ sont deux points de [Ax) ;
C et C’ deux points de [Ay) tels que (BC) et (B’C’) sont perpendiculaires à [Ax)
Une conjecture :
Mesurer, puis calculer les rapports BC
AC et B'C'
AC'
Conjecture : il semble que ces rapports sont égaux.
Mesurer, puis calculer les rapports BC
AB et B'C'
AB'
Conjecture : il semble que ces rapports sont égaux.
La preuve :
Les droites (Ax) et (Ay) sont sécantes en A o B et B’ sont deux points de (Ax) o C et C’ deux points de (Ay)
o (CB) // (C’B’) car elles sont toutes les deux perpendiculaires à (Ax) Donc d’après le théorème de Thales : AB AC BC
AB' AC' B'C'
D’une part :
AC BC
AC' B'C'
ACB’C’=BCAC’
BC AC' B'C'=
AC
B'C' BC AC' AC
D’autre part :
x y
A B B’
C
C’
Produits en croix
Je divise les 2 membres par AC Je divise les 2 membres par AC’
Sur la calculatrice, on tape Arccos (5 : 8,2) =
AB BC AB' B'C'
ABB’C’=BCAB’
BC AB' B'C'=
AB
B'C' BC AB' AB
Synthèse :
Soient des triangles rectangles ayant le même angle aigu A. Alors les rapports coté opposé
hypoténuse et coté opposé
coté adjacent ne dépendent pas de ces triangles rectangles.
On les appelle respectivement le SINUS et la TANGENTE de l’angle A. En résumé :
sin A=coté opposé hypoténuse=BC
AC
tan A= coté opposé
coté adjacent=BC
AB
Remarques :
o Le sinus d’un angle aigu est un nombre compris entre 0 et 1
o La tangente d’un angle aigu est un nombre positif (pas forcément < 1) Application :
III. Relations entre sinus, cosinus et tangente
Produits en croix
Je divise les 2 membres par AC Je divise les 2 membres par AC’
A
C
B
1) Calculer AC (arrondir au mm)
2) Calculer CD (arrondir au mm)
Montrons que si est un angle aigu, on a tan sin cos
On a :
sin BC
AC cos AB
AC tan BC
AB
Donc :
BC
sin AC BC AC BC tan
cos AB AC AB AB
AC
Retenons : Applications :
1. est la mesure d’un angle aigu. On donne cos = 0,6 et sin = 0,8.
Calcule tan.
tan=sin 0, 8 4
cos 0, 6 3
2. Calcule sin sachant que
tan 4
3
et
cos 3
5
.
tan sin
cos 4 sin 3 3
5 sin 0, 8
Montrons que sin 2 cos2 1pour tout angle aigu
sin BC
AC cos AB
AC
2 2 2 2
2 2
2
BC AB
sin cos
AC AC
BC AC
AC
2 2
AC AC 1
(th de Pythagore)
Retenons :
A
B C
A
B C
sin 2 cos2 1
tan sin
cos
Applications :
a) étant la mesure d’ un angle aigu avec cos=2
3, calculer sin puis tan sans chercher à calculer .
sin 2 cos2 1
2
2 2
cos 1
3
sin 2 1 4
9
sin 2 5
9 sin 5
9
Calcul de tan :
5
sin 9 5
tan cos 2 2
3
b) étant la mesure d’ un angle aigu avec sin=5
5, calculer cos puis tan sans chercher à calculer .
On trouve cos=0,6 et tan=4
3
c) Démontrer la relation 1 tan2 12
cos
2 2 2 2
2
2 2 2
sin sin cos sin 1
1 tan 1 1
cos cos cos cos
d) Développer cossin2
cossin2 cos22 cossinsin2 1 2 cossin
