Cosinus d’un angle aigu
I) Définitions :
a) Côté adjacent et hypoténuse : Définition n°1 :
………..
………
………
………
Exemple :
Soit ABC un triangle rectangle en B :
Angle
On repère ses côtés : [AB] et [AC].
Comme [AC] est l’hypoténuse, on en déduit que [AB] est la côté adjacent à
l’angle .
Angle
On repère ses côtés : [CA] et [CB].
Comme [CA] est l’hypoténuse, on en déduit que [CB] est la côté adjacent à
l’angle .
Remarque :
On rappelle que les angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires, c’est- à-dire deux angles dont la somme des mesures fait 90°.
Dans le triangle précédent, les angles et sont complémentaires, on peut donc écrire que :
+ = 90
Par exemple, si = 36°, on en déduit que = 90 – = 90 – 36 = 54°.
Définition n°2 :
……….
………..
………
Exemple :
Le triangle DEF est rectangle en D. Ecrire la formule donnant le cosinus de l’angle aigu .
On commence par faire une figure pour visualiser la situation :
On repère le côté adjacent de l’angle et l’hypoténuse :
Puis on écrit la formule et on remplace par les bonnes données :
Cos( ) = ô é à
é
Cos( ) =
Conclusion : Cos( ) =
Remarque :
Comme la longueur du côté adjacent est strictement inférieure à la longueur de l’hypoténuse, le cosinus d’un angle est toujours compris entre 0 et 1.
II) Calcul d’une longueur :
a) Calcul de la longueur du côté adjacent : Exemple :
Soit ABC un triangle rectangle en A tel que BC = 5 cm et = 50°.
Déterminer la longueur du côté [AB] arrondie au dixième.
Méthode :
Première étape : construire une figure à main levée où on repère l’hypoténuse et le côté adjacent à l’angle donné .
Deuxième étape : on écrit le cosinus d’un angle : la longueur cherchée doit apparaître dans le quotient :
Cos( ) = ô é à !"
é
Cos( ) = !
!"
Troisième étape : on remplace ce que l’on peut par les données de l’énoncé : Cos(50) = !
# ( on a remplacé par 50 et BC par 5 )
Quatrième étape : on écrit l’égalité précédente sous forme d’une égalité de quotients :
" (#%)
' = !
# => on pourra ainsi appliquer la quatrième proportionnelle.
Cinquième étape : on applique la quatrième proportionnelle pour calculer AB :
AB = # × " (#%)
'
AB ≅ 3,2 cm, valeur arrondie au dixième.
Conclusion : AB ≅ 3,2 cm
b) Calcul de la longueur de l’hypoténuse : Exemple :
Soit ABC un triangle rectangle en B tel que AB = 8 m et = 34°.
Déterminer la longueur du côté [AC] arrondie au dixième.
Méthode :
Première étape : construire une figure à main levée où on repère l’hypoténuse et le côté adjacent à l’angle donné .
Deuxième étape : on écrit le cosinus d’un angle : la longueur cherchée doit apparaître dans le quotient :
Cos( ) = ô é à ! "
é
Cos( ) = !
"
Troisième étape : on remplace ce que l’on peut par les données de l’énoncé : Cos(34) = *
" ( on a remplacé par 34 et AB par 8 )
Quatrième étape : on écrit l’égalité précédente sous forme d’une égalité de quotients :
" (+,)
' = *
" => on pourra ainsi appliquer la quatrième proportionnelle.
Cinquième étape : on applique la quatrième proportionnelle pour calculer AC : AC = * × '
" (+,)
AC ≅ 9,6 m, valeur arrondie au dixième.
Conclusion : AC ≅ 9,6 m
III) Calcul de la mesure d’un angle aigu :
Exemple :Soit ABC un triangle rectangle en C tel que AB = 12 cm et AC = 8 cm.
Déterminer la mesure de l’angle , valeur arrondie au degré prés.
Méthode :
Première étape : construire une figure à main levée où on repère l’hypoténuse et le côté adjacent à l’angle cherché .
Deuxième étape : on écrit le cosinus d’un angle : l’angle cherché doit apparaître dans le cosinus :
Cos( ) = ô é à ! "
é
Cos( ) = "
!
Troisième étape : on remplace ce que l’on peut par les données de l’énoncé :
Cos( ) = *
'- ( on a remplacé AC par 8 et AB par 12 )
Quatrième étape : on utilise la machine à calculer pour déterminer la mesure de l’angle :
On appuie sur la touche INV ou 2ND ou SHIFT de la machine, puis la touche Cos puis la séquence de touches « ( 8 / 12 ) » .
Après validation de ce calcul, la calculatrice doit afficher 48,189685104 …, valeur qui représente la mesure de l’angle .
On conclut :
= 48°, valeur arrondie au degré.
