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èmeCours : triangle rectangle et cosinus
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1. Cosinus d’un angle aigu
Le cosinus est un outil mathématique qui permet de calculer des longueurs de segments et des mesures d’angle.
Dans un triangle rectangle, le cosinus d’un angle aigu est égal au quotient : Longueur du côté adjacent à l’angle
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longueur de l’hypoténuse
Ce quotient ne dépend que de l’angle.
On note cos dB = AB BC Remarque :
Le cosinus d’un angle aigu est toujours compris entre 0 et 1, car l’hypoténuse d’un triangle rectangle est toujours le plus grand côté.
2. Calculatrice et cosinus
a) Déterminer un cosinus
Pour déterminer avec une calculatrice le cosinus d’un angle dont on connaît la mesure on utilise la touche cos.
Exemple : Déterminer un arrondi à 0,001 près de cos 43°
On tape cos 4 3
On obtient 0,731 353 7 Donc cos 43° ≈0,731
b) Déterminer un angle
Pour déterminer un angle avec une calculatrice, connaissant son cosinus, on utilise la touche correspondant à « cos-1 » que l’on atteint souvent avec la touche INV ou 2nd
Exemple : Déterminer un troncature à 0,1 ° de x, sachant que cos x=0,67 On tape cos-1 0 . 6 7
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2 On obtient 47,932 93
Donc x ≈ 47,9°
! Attention : Il faut s’assurer que la calculatrice est en mode « degré »
3. Calculer la longueur d’un segment
Conditions pour utiliser le cosinus :
- avoir un triangle rectangle dont un côté est le segment cherché ; - connaître l’angle aigu qui a pour côté le segment cherché ;
- connaître la longueur de l’autre côté de cet angle.
Exemple : en utilisant les informations données sur la figure ci-contre, calculer une valeur arrondie à 0,1 cm près de BE.
Rédaction de la solution :
On sait que ABC est un triangle rectangle, donc, d’après le théorème de Pythagore :
AB² + AC² = BC²
Donc 12² + 15² = BC² donc BC = 369 ≈ 19,2093 On sait que BCE est un triangle rectangle, donc : cos aaCBE = BC
BE donc cos 30° = 369
BE Donc BE = 369
cos 30°
Donc BE ≈ 22,2 cm
4. Calculer la mesure d’un angle
Conditions pour utiliser le cosinus :
- avoir un triangle rectangle dont un des angles est l’angle cherché ; - connaître la longueur des côtés de cet angle
Exemple : En utilisant les informations données sur la figure ci-contre, calculer la mesure de l’angle aACB.
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3 Rédaction de la solution
- On sait que (BC) et (DE) sont perpendiculaires à (AD).
Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles.
Donc la droite (BC) est parallèle à la droite (DE)
- Dans le triangle ADE on sait que les droites (BC) et (DE) sont parallèles, donc, d’après la propriété de proportionnalité des longueurs dans un triangle, on a :
AC AE = BC
DE 3
3 + 5 = BC
5 donc 3 8 = BC
5 D’où BC = 15
8 = 1,875 cm
- On sait que le triangle ABC est rectangle, donc : Cos aACB = BC
AC soit cos aACB = 1,875
3 = 0,625 Donc aACB ≈ 51,3°
