Nombres complexes

ECS 1Dupuy de Lˆome Semaine du 6 novembre 2003

Programme de colles S9

NB : Les d´emonstrations des th´eor`emes ou propositions ´etoil´es doivent ˆetre sues

Premi` eres fonctions usuelles

Pour chacune des fonctionslogarithme de basea,exponentielle de basea,puissance d’ex- posant α,sinus,cosinus ettangente, sont demand´es

– les graphes ;

– les propri´et´es de monotonie ;

– les propri´et´es d’injectivit´e, surjectivit´e, bijectivit´e (de ces fonctions ou de leurs restrictions `a des intervalles) ;

– les propri´et´es de sym´etries (parit´e, p´eriodicit´e et autres . . .) ; – les r`egles de calculs.

Pour les fonctions trigonom´etriques, les seules r`egles de calculs demand´ees sont les formules d’addition et de duplication. On illustrera les propri´et´es de sym´etrie de ces fonctions sur le cercle trigonom´etrique.

Nombres complexes

Notation alg´ ebrique des nombres complexes

Th´eor`eme.— Notation alg´ebrique d’un nombre complexe

Pour tout nombre complexe z∈C il existe un couple de nombres r´eels(x, y)∈R²,unique, tel que

z=x+iy

Le nombre r´eelxest appel´e lapartie r´eelle dezet not´eRez.

Le nombre r´eely est appel´e la partie imaginairedez est not´eImz.

L’unicit´e de la notation alg´ebrique se traduit par :

∀(z, z⁰)∈C²,

z=z⁰ ⇐⇒ Rez=Rez⁰ Imz=Imz⁰

D´efinition : Nombre complexe conjugu´e

Pour tout z=x+iy,(x, y)∈R², on d´efinit le conjugu´e ¯zdez par :

¯

z=x−iy=Rez−iImz.

Proposition^?.— Soitz∈Cun nombre complexe. Alors 1. Rez= z+ ¯z

2 2. Imz= z−¯z

2i Par cons´equent nous avons les ´equivalences suivantes : z∈R ⇐⇒ z¯=z

z∈iR ⇐⇒ z¯=−z

Illustration.—le plan complexe, interpr´etation g´eom´etrique de l’addition des nombres complexes.

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Notation exponentielle des nombres complexes non nuls

Proposition-d´efinition.—Module d’un nombre complexe

Soitz∈Cun nombre complexe, Le nombre z¯z est un nombre r´eel positif. On appelle module de z, et on note|z|le nombre r´eel posistif :

|z|=√ zz¯=p

Rez²+Imz² Proposition^?.— Propri´et´es du module

Nombres complexes de module 1

Th´eor`eme.— Repr´esentation de nombres complexes de module 1

Soitϕ:R→ U l’application d´efinie par ∀θ∈R, ϕ(θ) = cosθ+isinθ L’applicationϕainsi d´efinie est surjective deR surU. De plus elle v´erifie :

∀(θ, θ⁰)∈R², ϕ(θ+θ⁰) =ϕ(θ)×ϕ(θ⁰) Pour tout nombre r´eel θ, on notee^iθ= cosθ+isinθ

Th´eor`eme<sup>?</sup>.— R`egles de calculs pour l’application ϕ

1. eⁱ⁰= 1.

2. ∀(θ, θ⁰)∈R²,e^i(θ+θ0)=e^iθ×e^iθ0

3. ∀θ∈R,e^−iθ= 1 e^iθ

4. ∀(θ, θ⁰)∈R²,e^i(θ−θ0)= e^iθ e^iθ0

Th´eor`eme^?.— Formules d’EulerPour tout nombre r´eelθ∈R, cosθ=e^iθ+e^−iθ

2 et sinθ=e^iθ−e^−iθ 2i

Th´eor`eme^?.— Formule de Moivre Pour tout nombre r´eelθ∈Ret tout entier relatifn∈Z, e^iθn

=e^inθ et cosθ+isinθ)ⁿ = cosnθ+isinnθ

Exercice^? : Soitθ∈R1. Lin´earisez sin³θ 2. Ecrivez cos 4θen fonction de puissances de cosθ.

Proposition.— Forme exponentielle d’un nombre complexe non nul

Soitz∈C^?un nombre complexe non nul. Il existeun couple de r´eels (ρ, θ)∈R^+?×Rtel que z=ρe^iθ=ρ cosθ+isinθ

Il n’y apas unicit´ede l’´ecriture exponentielle : pour tous (ρ, θ) , (ρ⁰, θ⁰)∈R^+?×R, ρe^iθ=ρ⁰e^iθ0 ⇐⇒

ρ = ρ⁰ θ⁰ ≡ θ⁰[2π] .

Remarque : Si z∈C^?, s’´ecritz =ρe^iθ, n´ec´essairement ρ=|z|. On appelleun argument dez, et on note arg(z) tout nombre r´eel tel quez=|z|e^iarg(z).

Corollaire.— La partiesemi-unicit´e de l’´ecriture exponentielle se traduit par

∀(z, z⁰)∈C^?×C^? ,

(z=z⁰) ⇐⇒

|z| = |z⁰|

arg(z) ≡ arg(z⁰) [2π]

Illustration.—Interpr´etation g´eom´etrique de la multiplication des nombres complexes.

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