Exercices sur les fonctions cosinus hyperbolique, sinus hyperbolique et tangente hyperbolique

(1)

Exercices sur les fonctions cosinus hyperbolique, sinus hyperbolique et tangente hyperbolique

1 Résoudre dans  l’équation ch²xsh²x3.

2 Résoudre dans  l’inéquation ch 2 ch 3

ch 4 ch 2

x x

 

   . 3 Partie A

Démontrer que, pour tout couple (x ; y) de réels, on a les égalités suivantes :

sh sh 2 sh ch

2 2

x y x y

x y  

 

sh sh 2 ch sh

2 2

x y x y

x y  

 

ch ch 2 ch ch

2 2

x y x y

x y  

 

ch ch 2 sh sh

2 2

x y x y

x y  

  .

Partie B

1°) Soit x un réel non nul et n un entier naturel non nul.

Donner une expression simplifiée du produit

 

1

ch 2

n

n k

k

P x x





^.

Indication : utiliser la relation sh 2 ch 2sh

t t

 t pour t réel quelconque non nul.

2°) Soit x et y deux réels tels que x  y et n un entier naturel non nul.

Donner une expression simplifiée du produit

 

1

; ch ch

2 2

n

n k k

k

x y

Q x y



 

   

 



^.

4 Résoudre dans  l’équation 2 sh x + ch x = 5.

5 Soit  et  deux réels tels que    ² ² 1. Résoudre dans ² le système ch ch 2

sh sh 2

x y

  



  



.

Indication :

Élever chaque équation au carré et soustraire membre à membre.

Démontrer qu’alors x = y.

Faire une discussion sur  et .

6 Soit x un réel.

1°) Démontrer que pour tout entier naturel k on a :

   

     

th 1 th sh

ch ch 1

k x kx x

kx k x

  

 . 2°) Simplifier

     

0

1

ch ch 1

n

k

kx k x

 



^{(n ).}

(2)

Solutions

1 S =



^{ln 1}



^ ^{2 ;}



^^{ln 1}



^ ²

 

2 ch x8 3 Partie B

1°)

 

^sh

2 sh 2

n n

n

P x x

 x

 

 

 

2°)

 

²

 

²

 

2 2

1 1

sh sh

,

2 sh sh 2 ch ch

2 2 2 2

n

n n

x y x y

Q x y

x y x y x y

 

 

 

 

        

        

        

5 ch x  et sh x .

Si  1, alors il n’y a aucune solution.

Si  1,…

Si  1, xyArgsh 

Questions de cours

1 Étude des fonctions ch et Argch.

2 Étude des fonctions sh et Argsh.

3 Étude des fonctions th et Argth.

4 Étude des fonctions ch et sh.

5 Expression logarithmique de Argch, Argsh, Argth.

6 Formules de trigonométrie hyperbolique.

7 Démontrer à l’aide de la définition de la fonction ch que  x   ch x  1.

8 Démontrer que  x   – ch x < sh x < ch x.

En déduire un encadrement de th x.

9 Déterminer le sens de variation de la fonction th sans utiliser la dérivée.