Mines Maths toutes filières 2009 — Énoncé 1 / 4
CONCOURS COMMUN 2009
DES ECOLES DES MINES D’ALBI, AL` ES, DOUAI, NANTES
Epreuve de Math´ ´ ematiques
(toutes fili` eres)
Lundi 18 mai 2009 de 14h00 ` a 18h00
Instructions g´ en´ erales :
Les candidats doivent v´erifier que le sujet comprend 4 pages num´erot´ees 1/4, 2/4, 3/4, 4/4.
Les candidats sont invit´es `a porter une attention particuli`ere `a la r´edaction : les copies illisibles ou mal pr´esent´ees seront p´enalis´ees.
Les candidats colleront sur leur premi`ere feuille de composition l’´etiquette `a code `a barres correspondant
`a l’´epreuve commune de Math´ematiques.
L’emploi d’une calculatrice est interdit
Remarque importante :
Si au cours de l’´epreuve, un candidat rep`ere ce qui lui semble ˆetre une erreur d’´enonc´e, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a ´et´e amen´e `a prendre.
Probl` eme I : Alg` ebre et G´ eom´ etrie
A. Etude de deux applications
La notation R 2 [X] d´esigne le R -espace vectoriel des polynˆ omes `a coefficients r´eels de degr´e inf´erieur ou
´egal `a 2. On identifiera dans la suite de ce probl`eme les ´el´ements de R 2 [X] et leurs fonctions polynomiales associ´ees. On note B = (1, X, X 2 ) la base canonique de R 2 [X]. On d´efinit les deux applications suivantes :
f : R 2 [X] −→ R 2 [X]
P 7−→ 1 2
P X
2
+ P X + 1
2
et
ϕ : R 2 [X] −→ R P 7−→ P(1)
On rappelle aussi que l’on note f 0 = Id
R2[X] , et pour tout n ∈ N
∗, f
n= f ◦ f
n−1 . 1. V´erifier que f est bien `a valeurs dans R 2 [X] et montrer que f est lin´eaire.
2. Montrer que ϕ est lin´eaire.
3. Ecrire la matrice de f dans la base B de R 2 [X], en indiquant les calculs interm´ediaires.
4. L’application f est-elle injective ? surjective ?
5. D´eterminer une base de Ker ϕ. Quelle est la dimension de Kerϕ ? 6. L’application ϕ est-elle injective ? surjective ?
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Mines Maths toutes filières 2009 — Énoncé 2 / 4
B. Calcul des puissances successives d’une matrice On note I 3 la matrice identit´e de M 3 ( R ) et A la matrice
A =
1 1 4 1 8 0 1 2 1 4 0 0 1 4
.
Enfin, on note B
′la famille de R 2 [X] d´efinie par
B
′= (1, −2X + 1, 6X 2 − 6X + 1).
7. Justifier que la famille B
′est une base de R 2 [X].
8. Ecrire la matrice de passage Q de B `a B
′.
9. Justifier que Q est inversible et calculer son inverse.
10. Ecrire la matrice M de f dans la base B
′en donnant les calculs interm´ediaires.
11. Calculer A
npour tout n ∈ N . On explicitera les neuf coefficients de A
n.
12. Pour n ∈ N et P = a + bX + cX 2 avec (a, b, c) ∈ R 3 , d´eterminer f
n(P) en fonction de a, b, c.
13. En d´eduire que
∀ P ∈ R 2 [X], lim
n→
+
∞ϕ f
n(P)
= Z 1
0
P(t) dt.
C. Une autre preuve du r´ esultat pr´ ec´ edent
14. A l’aide d’un raisonnement par r´ecurrence, d´emontrer que
∀ P ∈ R 2 [X], ∀ n ∈ N
∗, f
n(P) = 1 2
n2
n−1X
k=0
P X + k
2
n.
15. En d´eduire, en utilisant un r´esultat du cours d’analyse que l’on ´enoncera avec pr´ecision, que
∀ P ∈ R 2 [X], lim
n→
+
∞ϕ f
n(P)
= Z 1
0
P(t) dt.
D. Etude d’une famille de sph` eres et d’une famille de droites
L’espace affine usuel est rapport´e `a un rep`ere orthonorm´e direct R = (O,~i,~j, ~k). Les diff´erentes ´equations qui apparaissent dans la partie D. sont relatives au rep`ere R. Pour tout m r´eel, on consid`ere l’ensemble S
md’´equation cart´esienne
S
m: x 2 + y 2 + z 2 − 2mz √
2 + m 2 − 2 = 0.
On appelle aussi E l’ensemble des points de l’espace v´erifiant l’´equation
E : x 2 + y 2 = z 2 + 2.
On note enfin P le plan d’´equation y = 0, c’est-`a-dire le plan (xOz).
16. D´emontrer que, pour tout m r´eel, S
mest une sph`ere dont on d´eterminera le centre et le rayon.
17. Montrer que l’intersection de P et de E est une conique G, dont on d´eterminera la nature et les asymptotes ´eventuelles.
18. Repr´esenter dans le plan P la conique G.
19. Donner l’excentricit´e ainsi que les coordonn´ees du ou des foyer(s) dans le rep`ere R de la conique G.
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20. Pour tout θ ∈ R , on d´efinit la droite (D
θ) ayant pour syst`eme d’´equations cart´esiennes
(D
θ) :
( x − z cos θ = √ 2 sin θ y − z sin θ = − √
2 cos θ.
Pour tout θ ∈ R , d´eterminer un point et un vecteur directeur de la droite (D
θ).
On choisira un vecteur directeur dont la troisi` eme coordonn´ ee est ´ egale ` a 1.
21. Soient θ et m deux r´eels quelconques. Prouver que la droite (D
θ) est tangente `a la sph`ere S
m. 22. Montrer que pour tout θ ∈ R , la droite (D
θ) est incluse dans E .
23. R´eciproquement, montrer que si M est un point de l’ensemble E de coordonn´ees (x, y, z) dans le rep`ere R, alors il existe θ ∈ R tel que M appartienne `a la droite (D
θ).
24. Que peut-on d´eduire des deux questions pr´ec´edentes ?
Probl` eme II : Analyse
Dans tout ce probl`eme, on notera sh la fonction sinus hyperbolique, ch la fonction cosinus hyperbolique et th la fonction tangente hyperbolique.
A. Etude d’une fonction
Soit f la fonction d´efinie sur R
∗par f(x) = x sh 1
x
. 1. Etudier la parit´e de f.
2. (a) Rappeler un ´equivalent de la fonction sh en 0 et en d´eduire les limites de f en +∞ et en −∞.
(b) D´eterminer la limite de f en 0.
3. Justifier que f est d´erivable sur R
∗et que pour tout x ∈ R
∗,
f
′(x) =
th 1
x
− 1 x
× ch 1
x
.
4. Montrer que, pour tout X ∈ R
∗+ , th(X) < X.
5. En d´eduire le tableau de variations de f.
6. Donner le d´eveloppement limit´e `a l’ordre 4 en 0 de la fonction X 7−→ sh(X) X . 7. En d´eduire qu’au voisinage de + ∞ et de −∞ , f admet un d´eveloppement de la forme
f (x) = a 0 + a 1 x + a 2
x 2 + a 3 x 3 + a 4
x 4 + o 1
x 4
,
o` u a 0 , . . . , a 4 sont cinq r´eels que l’on pr´ecisera.
8. Montrer que la fonction x ∈ R
∗7−→ f 1
x∈ R se prolonge sur R en une fonction continue not´ee F, puis prouver que F est d´erivable sur R .
B. Trac´ e d’une courbe param´ etr´ ee
On s’int´eresse `a l’arc param´etr´e d´efini pour t 6 = 0 par les ´equations
x(t) = t sh 1
t
y(t) = t exp 1
t
.
On note Γ son support. On donne la valeur approch´ee sh(1) ≈ 1, 18 `a 10
−2 pr`es.
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9. Dresser le tableau des variations des fonctions x et y sur R
∗, en pr´ecisant les limites.
10. D´eterminer les asymptotes de Γ et pr´eciser la position de Γ par rapport `a chacune de ses asymptotes.
On r´ esumera l’´ etude ` a l’aide de sch´ emas.
11. Tracer l’allure de Γ, ainsi que ses asymptotes et la tangente `a Γ au point M de param`etre t = 1.
On prendra 2 cm comme unit´e en abscisses et en ordonn´ees.
C. Une ´ equation diff´ erentielle
On consid`ere l’´equation diff´erentielle (E) suivante, que l’on va r´esoudre sur diff´erents intervalles
xy
′+ y = ch(x). (E) 12. R´esoudre sur l’intervalle R
∗+ l’´equation diff´erentielle (E).
13. Donner sans justification les solutions de l’´equation diff´erentielle (E) sur l’intervalle R
∗−
.
14. Justifier que la fonction F (d´efinie dans la question A.8.) est l’unique fonction d´efinie et d´erivable sur R qui soit solution de l’´equation diff´erentielle (E) sur R .
D. Etude d’une suite
15. Montrer que pour n ∈ N
∗, l’´equation
f(x) = n + 1 n admet une unique solution dans R
∗+ . On la note u
n.
On d´efinit ainsi une suite (u
n)
n∈N∗que l’on va ´etudier dans les questions qui suivent.
16. Montrer que la suite (u
n)
n∈N∗est croissante.
17. Montrer que la suite (u
n)
n∈N∗tend vers +∞ quand n tend vers +∞.
18. En utilisant la question A.7., d´eterminer un ´equivalent de u
nquand n tend vers +∞.
E. Une fonction d´ efinie par une int´ egrale Pour x ∈ R
∗+ , on pose J(x) = Z
xx/2
f(t) dt.
19. Montrer que pour tout x ∈ R , sh(2x) = 2 ch(x) sh(x).
20. Justifier que J est d´erivable sur R
∗+ et que pour tout x ∈ R
∗+ ,
J
′(x) = f(x)
1 − 1 2 ch
1 x
.
21. En d´eduire le signe de J
′sur R
∗+ ; on exprimera le (ou les) z´ero(s) de J
′`a l’aide de la fonction ln.
22. On admet les r´ esultats suivants : (∗) lim
x→0+
J(x) = +∞ , (∗) lim
x→
