Trigonométrie hyperbolique

(1)

Définition

∀𝑥 ∈ ℝ sh𝑥 =𝑒^𝑥− 𝑒^−𝑥

2 ch𝑥 =𝑒^𝑥+ 𝑒^−𝑥

2 th𝑥 = sh𝑥

ch𝑥 Formule fondamentale : ch²−sh²= 1.

Formules d’addition et de soustraction (hors programme)

ch(𝑎 + 𝑏) =ch𝑎ch𝑏 +sh𝑎sh𝑏 ch(𝑎 − 𝑏) =ch𝑎ch𝑏 −sh𝑎sh𝑏 sh(𝑎 + 𝑏) =sh𝑎ch𝑏 +ch𝑎sh𝑏 sh(𝑎 − 𝑏) =sh𝑎ch𝑏 −ch𝑎sh𝑏

th(𝑎 + 𝑏) = th𝑎 +th𝑏

1 +th𝑎th𝑏 th(𝑎 − 𝑏) = th𝑎 −th𝑏

1 −th𝑎th𝑏

Formules de duplication (hors programme)

ch2𝑎 =ch²𝑎 +sh²𝑎 = 2ch²𝑎 − 1 = 2sh²𝑎 + 1 sh2𝑎 = 2sh𝑎ch𝑎

th2𝑎 = 2th𝑎 1 +th²𝑎

Parité

Les fonctions sh et th sont impaires. La fonction ch est paire.

Dérivation

sh^′=ch ch^′=sh th^′= 1 −th² = 1

ch²

Limites

𝑥→+∞lim sh𝑥 = +∞ lim

𝑥→+∞ch𝑥 = +∞ lim

𝑥→+∞th𝑥 = 1

𝑥→−∞lim sh𝑥 = −∞ lim

𝑥→−∞ch𝑥 = +∞ lim

𝑥→−∞th𝑥 = −1

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(2)

Graphes

Graphe de sh

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−4

−3

−2

−1 1 2 3 4

𝑦 =sh𝑥

Graphe de ch

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4

1 2 3 4

Graphe de th

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−1 1

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