S1 2005-2006 - Mathématiques IUT Mesures Physiques - Grenoble I
TD 3 : logarithmes, exponentielle, trigonométrie hyperbolique
T Exercices théoriques :
1. Trouver a,b,c>0 tels que :
(a) loga3=2 (b) logbπ=1 (c) logcx=x (x réel fixé) 2. Résoudre les équations et systèmes d’équations suivants :
(a) ex−15e−x=2 (b) ln|x|+ln|x+1|=0
(c) sh x=ch x (d) sh x= ch x2
(e) 3ch x+2sh x=1 (f) 3ch x−5sh x=−2 3. Déterminer les limites suivantes :
(a) limx→+∞e−x(ch3x−sh3x) (b) limx→+∞x e1/x
(c) limx→0 ex−1 sin x (d) limx→1 ln x
x−1
(e) limx→0 ch2x−1 x2 (f) limx→+∞x−ln ch x 4. On considère la fonction définie surR− {−1}par f(x) = 1
x+1. Trouver une fonction F telle que F(0) =1 et F′= f .
Une fonction F vérifiant ces propriétés est-elle unique ? 5. Simplifier l’expression argsh(2x√
1+x2).
P Exercices pratiques :
1. Nombre de chiffres : Le plus grand nombre premier connu à ce jour est 225964951−1.
Combien de chiffres sont nécéssaires pour l’écrire ?
2. Placements financiers : Une somme est placée sur un compte qui rapporte 5% par an. Au bout de combien d’années la somme aura-t-elle doublé, si les intérêts sont capitalisés tous les ans ? S’ils le sont tous les 15 jours ?
3. Décharge d’un condensateur : Un condensateur de capacité C, initialement chargé à q0, se décharge sur une résistance R. Alors la charge q(t)vérifie l’équation différentielle :
Rdq dt +q
C =0.
Déterminer la charge q, puis l’intensité i=dqdt en fonction de t.
Au bout de combien de temps la charge a-t-elle diminué de 10% ? Au bout de combien de temps vaut-elle 1% de la charge initiale ?
4. Datation au carbone 14 : Sous l’effet du rayonnement cosmique, une partie du carbone présent sur Terre l’est sous forme de l’isotope carbone 14.
Dans un organisme vivant, le taux de carbone 14 reste constant ; mais une fois l’organisme mort, il n’assimile plus le carbone présent dans l’air et le taux de carbone 14 va diminuer.
On rappelle que si N désigne un nombre d’atomes de carbone 14, le nombre dN de ces atomes se désintégrant pendant un temps dt vaut−λNdt (oùλ=1,2.10−4an−1est la constante radioactive du carbone 14).
Ecrire l’équation différentielle vérifiée par N, et en déduire sa valeur en fonction du temps.
Quel est le temps de demi-vie du carbone 14 ?
En supposant que l’on puisse mesurer de manière fiable des taux de carbone 14 supérieur à 0,2%, quel est l’âge maximum que l’on peut dater par ce procédé ?
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CORRECTION DU TD 3
T Exercices théoriques :
1. On cherche a>0 tel que ln 3
ln a =2, soit ln 3=2 ln a, donc finalement a=exp(ln 3/2) =√ 3.
De même b=πet c=exp(ln x/x).
2. (a) On pose X =ex>0. Alors l’équation équivaut à X−15/X=2, soit X2−2X−15=0. Donc X=5, et x=ln 5.
(b) On a| x
x+1|=1 donc x=x+1 ou x=−x−1. La première équation n’a pas de solution, la deuxième a pour solution x=−1/2 qui est bien solution de l’équation initiale.
(c) On se ramène à ex−e−x=ex+e−x, donc e−x=0 : pas de solution.
(d) L’équation est équivalent à th x=12, soit à x=argth12 =1
2ln1+1/2 1−1/2= 1
2ln 3.
(e) En divisant par√
a2−b2=√
9−4=√
5 l’équation devient 3
√5ch x+ 2
√5sh x= 1
√5. En posantϕ=argch 3
√5 (nous n’aurons pas besoin de l’expression à l’aide d’un logarithme), l’équation est donc équivalente à chϕch x + shϕsh x= 1
√5 soit encore ch(x+ϕ) = 1
√5. Comme un cosinus hyperbolique est plus grand que 1, l’équation n’a pas de solution ! (f) On transforme l’équation en divisant par√
b2−a2=√
16=4 : 3
4ch x−5
4sh x=−1 2. Siϕ=argsh3
4, l’équation s’écrit shϕch x − chϕsh x=−1
2, soit encore sh(ϕ−x) =−1 2. Doncϕ−x=argsh(−1
2), et x=argsh3
4−argsh(−1
2) =argsh3
4+argsh1 2. En utilisant la formule donnant argsh, on trouve x=ln(1+√
5)(faites-le calcul !).
3. (a) On calcule : (ch x)3= 18e3x(1+e−2x)3 et (sh x)3= 18e3x(1−e−2x)3, donc la quantité étu- diée vaut 18e2x[(1+e−2x)3−(1−e−2x)3], soit en utilisant a3−b3= (a−b)(a2+ab+b2) :
1
8e2x(2e−2x)[(1+e−2x)2+(1+e−2x)(1−e−2x)+(1−e−2x)2] =14[(1+e−2x)2+(1+e−2x)(1− e−2x) + (1−e−2x)2]. La limite en+∞est donc 3
4.
(b) Ce n’est pas une forme indéterminée ! x tend vers+∞, et e1x vers 1 : la limite est+∞.
(c) On écrit ex−1
sin x =ex−1 x
x sin x.
Le premier quotient tend vers la dérivée de l’exponentielle en 0 : e0=1.
L’inverse du second quotient tend vers la dérivée de la fonction sinus en 0 : cos 0=1.
Donc finalement, la limite est 1.
(d) ln x
x−1 = ln x−ln 1
x−1 : ce quotient tend vers le nombre dérivé de la fonction ln en 1 : 1.
(e) ch x≃1+x2/2, donc ch2x−1≃1+x2+x4/4−1≃x2, et la limite est 1.
(f) On factorise exdans ch x : ch x=ex
2(1+e−2x), donc x−ln ch x=x−(x−ln 2+ln(1+e−2x)), la limite est donc ln 2.
4. x7→ln|x+1|convient.
Mais F définie par F(x) =ln(x+1)si x>−1 et par F(x) =ln(−x−1) +1 si x<−1 aussi !
2
5. On pose y=argsh x, soit x=sh y (c’est toujours possible, car sh est une bijection deRdansR).
Alors√
1+x2=p
1+sh2y=p
ch2y=ch y, donc l’expression à simplifier vaut argsh(2sh y ch y) = argsh(sh 2y) =2y=2argsh x.
P Exercices pratiques :
1. On cherche en fait n entier tel que 10n−1≤225964951−1<10n, soit 10n−1<225964951 ≤10n. Si on prend le logarithme de base 10, qui est une fonction croissante :
n−1<25964951 log102≤n.
On a donc n=E(25964951 log102)+1=7816230 chiffres dans l’écriture décimale de ce nombre.
2. Cas 1 : la somme au bout de n ans a été multipliée par(1,05)n, elle a donc doublé quand n est tel que(1,05)n≥2, donc n≥ln 2/ln 1,05≃14,2. Finalement il faut attendre 15 ans.
Cas 2 : au bout de n demi-mois, la somme sur le compte est de(1+0,05/24)n, elle a doublé pour n≥ln 2/ln(1+0,05/24)n≃333,05, donc il faut 334/24=13,92 ans. La somme double donc un peu plus vite de cette manière !
3. L’équation vérifiée par la charge s’écrit dqdt +RC1 q=0, qui est une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants, et sans second membre. On sait depuis la terminale que les solutions sont de la forme q(t) =q0e−RCt .
La charge aura diminué de 10% pour t1solution de e−RCt1 =0,9, soit t1=−RC ln 0,9.
La charge vaudra 1% de la charge initiale si e−RCt2 =0,01, soit t2=−RC ln 0,01=2RC ln 10.
4. On obtient dN
dt =−λN, donc N=N0exp(−λt).
On trouve N=N0/2 si exp(−λt) =1/2, soit une demi-vie de ln 2/λ≃5776 ans.
On peut dater un âge maximal de tm solution de exp(−λtm) =0,002, soit tm=−ln 0,002/λ≃ 52000 ans.
3
