S’1 2006 - Mathématiques IUT Mesures Physiques - Grenoble I
TD 3 : logarithmes, exponentielle, trigonométrie hyperbolique
T Exercices théoriques :
1. Résoudre les équations suivantes :
(a)ex−3e−x=−2 (b) ln|x−1|+ln|x+1|=0 (c) shx=chx (d) shx= ch2x 2. Déterminer les limites suivantes :
(a) limx→+∞e−x(ch3x − sh3x)
(b) limx→+∞x e1/x
(c) limx→0 ex−1 x (d) limx→1 lnx
x−1
(e) limx→0 ch2x−1 x2 (f) limx→+∞x−lnchx 3. Trouver toutes les primitives de la fonction f définie surR− {−1}par f(x) = 1
x+1. P Exercices pratiques :
1. Nombre de chiffres : Le plus grand nombre premier connu à ce jour est 230402457−1.
Combien de chiffres sont nécéssaires pour l’écrire ?
2. Décharge d’un condensateur : Un condensateur de capacité C, initialement chargé à q0, se décharge sur une résistanceR. Alors la chargeq(t)vérifie l’équation différentielle :
Rdq dt +q
C =0.
Déterminer la chargeq, puis l’intensitéi= dqdt en fonction det.
Au bout de combien de temps la charge a-t-elle diminué de 10% ? Au bout de combien de temps vaut-elle 1% de la charge initiale ?
3. Datation au carbone 14 : Sous l’effet du rayonnement cosmique, une partie du carbone présent sur Terre l’est sous forme de l’isotope carbone 14.
Dans un organisme vivant, le taux de carbone 14 reste constant ; mais une fois l’organisme mort, il n’assimile plus le carbone présent dans l’air et le taux de carbone 14 va diminuer.
On rappelle que siNdésigne un nombre d’atomes de carbone 14, le nombredNde ces atomes se désintégrant pendant un tempsdtvaut−λNdt(oùλ=1,2.10−4an−1est la constante radioactive du carbone 14).
Ecrire l’équation différentielle vérifiée parN, et en déduire sa valeur en fonction du temps.
Quel est le temps de demi-vie du carbone 14 ?
En supposant que l’on puisse mesurer de manière fiable des taux de carbone 14 supérieur à 0,2%, quel est l’âge maximum que l’on peut dater par ce procédé ?
