TRIGONOMETRIE
I) Cercle trigonométrie et mesure en radians
1) Dans le plan muni d'un repère orthonormé (O, ⃗, ⃗), on appelle cercle trigonométrique le cercle de centre O et de rayon 1, orienté positivement dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.
2) Enroulement de la droite des réels :
On considère le cercle de centre 0 de rayon 1, on « colle » l’origine de la droite des réels sur le point de coordonnées (1; 0) dans le repère du cercle, et on enroule cette droite autour du cercle :
a) le périmètre du cercle unité vaut 2π×1 = 2π.
Donc, le point d’abscisse 2π de la droite des réels vient se « coller » sur le 0 d’origine du cercle (point I de la 1ère figure).
On peut donc définir une nouvelle unité de mesure : le
radian (unité rad).
Mesure en degrés 360 180 90 60 45 30 x
Mesure en radians 2π π
2 3 4 6 x ×
b) à chaque point de la droite des réels correspond un unique point sur le cercle, mais inversement, à tout point du cercle correspond une infinité de points sur la droite, tous distincts de k ×2π où k est un entier qui donne le nombre de tours de cet enroulement.
II) Cosinus et sinus d'un réel
1) Soit x ∈ ℝ et M le point associé à x sur le cercle trigonométrique, comme expliqué au I).
On appelle cosinus de x, et on note cos x, l'abscisse du point M. On appelle sinus de x, et on note sin x, l'ordonnée du point M. Dans le repère (O ; I, J), on a donc M(cos x ; sin x).
2) Propriétés directes :
Pour tout réel x, on a : –1 ⩽ cos x ⩽ 1 et –1 ⩽ sin x ⩽ 1
cos² x + sin² x = 1 (application du théorème de Pythagore)
Pour tout entier k, sin + = sin(x) et cos + = cos(x)
(remarque : cos² x = (cos x)2 et sin² x = (sin x)2) 3) Valeurs remarquables du cos et du sin :
Mesure en radians x 0 6 4 3 2 π sin x 0 1 2 √22 √32 1 0 cos x 1 √3 2 √22 1 2 0 –1
Exemple : Calculer cos et sin .
Comme = + = 10 + = 5 × 2 + .
Donc, cos = cos 5 × 2 + = cos = √!" et sin = sin 5 × 2 + = sin = " 4) Angles associés : Pour tout réel x…
sin(–x) = –sin(x) et cos(–x) = cos(x)
sin(π–x) = sin(x) et cos(π–x)= –cos(x) sin(π+x) = –sin(x) et cos(π+x)= –cos(x) sin − = cos(x) et cos − = sin(x) sin + = cos(x) et cos + = –sin(x)
Exemple : a est un nombre tel que sin(a) = 0,3. Donner les valeurs de sin(–a) et de sin(π–a). D’après les formules des angles associés sin(–a) = –sin(a) = –0,3 et sin(π–a) = sin(a) = 0,3. Donner les valeurs de cos$ et de sin$ .
$ = − . Donc cos$ = cos( − )= –cos( ) = – √! " et sin
$ = sin( − )= sin( ) = " .
III) Fonctions sinus et cosinus
1) Définitions :
La fonction qui à tout réel x associe cos(x) est appelée fonction cosinus. La fonction qui à tout réel x associe sin(x) est appelée fonction sinus.
2) Ensemble de définition : comme on peut définir le sinus et le cosinus de tout réel, les fonctions
sinus et cosinus sont définies sur ℝ.
3) Parité :
a) Pour tout réel x, sin(–x) = –sinx. Donc la fonction sinus est impaire et sa courbe
représentative est symétrique par rapport à l’origine du repère.
b) Pour tout réel x, cos(–x) = cosx. Donc la fonction cosinus est paire et sa courbe
4) Périodicité :
Comme pour tout réel x et pour tout entier k, sin % + 2& = sin(x) et cos % + 2& = cos(x), alors on dit que les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période . Leurs courbes représentatives sont invariantes par translation de vecteur 2 ⃗.
5) Dérivées (propriétés admises en 1ère) :
a) a et b sont deux réels non nuls. Soit f(x) = sin(ax + b) et g(x) = cos(ax + b). Alors les fonctions f
et g sont dérivables sur ℝ et pour tout réel x, f ’(x) = acos(ax + b) et g’(x)= –asin(ax + b).
b) Cas particuliers :
'() *= +,' et +,' * = −'()
6) A partir de l’étude du signe des valeurs de sinx et de cosx sur le cercle trigonométrique, on a les tableaux de variation suivants :
x 0 2 π Signe de cos(x) + 0 – Variations de sin(x) 0 1 0 et x 0 π Signe de -sin(x) – Variations de cos(x) 1 –1
7) En connaissant la parité de ces fonctions et le fait qu’elles soient périodique de période 2π, on a : Courbe représentative de la fonction sinus :
Courbe représentative de la fonction cosinus :
