I REPÉRAGE SUR UN CERCLE(VIDÉO1) 1 CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE
Le plan est muni d’un repère orthonormal¡ O;~ı,~¢
Le cercle trigonométrique est le cercleC de centre O, de rayon . . .. . .orienté
dans le sens . . .. . .. . .. . .. O I
J
#»i
#»j
C
+
2 ENROULEMENT DE LA DROITE RÉELLE SUR LE CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE
Le plan est muni d’un repère orthonormal¡ O;~ı,~¢
La droiteDest tangente enIau cercle trigonométriqueC.
Aest le point de coordonnées (1; 1). La droiteDest munie du repère (I;A).
Par enroulement de la droite réelleDsur le cercle trigonométriqueC :
— à tout point de la droite d’abscissexon peut associer un unique pointM du cercle trigonométrique, image . . .. . .. . .. . .. . .. . . ;
— tout point M du cercle trigonométrique est l’image d’une infinité de réels. Si le pointMest associé à un réelx, alors il est associé à tout réel de la forme . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .oùkest un entier relatif.
O I
J
#»i
#»j
b
D
A
1
x
M
C
3 MESURE D’UN ANGLE EN RADIAN(VIDÉO2)
DÉFINITION
SoitC le cercle trigonométrique de centre O, de rayon 1.
Un . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .est la mesure d’un angle au centre qui intercepte le
cercleC suivant un arc de longueur . . .. . .. . .. . .. O I
J
#»i
#»j
M
1 rad
REMARQUE:
Les mesures en radians et en degrés d’un angle géométrique sont proportionnelles :
Degrés 0° 30° 45° 60° 90° 120° 180°
VALEURS REMARQUABLES
O I
J
π 4 3π
4
−3π
4 −π
4 π 6 5π
6
−5π
6 −π
6 π
3 2π
3
−2π
3 −π
3 π
2
π
−π 2
II COSINUS ET SINUS D’UN NOMBRE RÉEL(VIDÉO3) 1 DÉFINITION
SoitMle point du cercle trigonométrique associé à un réelx.
— Le cosinus du réelx, noté cosx, est l’. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .du pointM.
— Le sinus du réelx, noté sinx, est l’. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .du pointM.
O I
J
M
cosx sinx
x
2 PROPRIÉTÉS
— Pour tout réelxet pour tout entier relatifk, cos (x+k×2π)=. . .. . .. . .. . .et sin (x+k×2π)=. . .. . .. . .. . .
— Pour tout réelx, . . .· · · ÉcosxÉ. . . et . . .· · · ÉsinxÉ. . . .
— Pour tout réelx, cos2x+sin2x=. . . .
EXEMPLE: (VIDÉO4) Sachant que sinx= −
p5
3 avec−π
2 <x<0, déterminer la valeur exacte de cosx.
. . .. . .. . .. . .. . .. . . . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .
3 VALEURS REMARQUABLES DÉMONSTRATIONS FONDAMENTALES
• Calculer cos³π 3
´
(Vidéo 5)
• Calculer sin³π 3
´(Vidéo 6)
• Calculer sin³π 4
´(Vidéo 7)
SYNTHÈSE:
x 0 π
6
π 4
π 3
π 2 cosx . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . .
sinx . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . .
O
π 6
p3 2 1
2
π 4
p2 2 p2
2
π 3
1 2 p3
2
π
1 2
1 4 ANGLES ASSOCIÉS(VIDÉO8)
Pour tout réelx: cos (−x)=. . . .
sin (−x)=. . . .
O I
J
M
N
x
−x
MetNsont symétriques par rapport à (OI)
Pour tout réelx: cos (π−x)=. . . .
sin (π−x)=. . . .
O I
J
M N
x π−x
MetN sont symétriques par rapport à (O J)
Pour tout réelx: cos (π+x)=. . . .
sin (π+x)=. . . .
O I
J
M
N
x π+x
MetN sont symétriques par rapport àO
EXEMPLES: 1. cos4π
3 =. . . . 2. sin3π
4 =. . . . 5 ÉQUATIONS(VIDÉO9)
Résoudre l’Équation : cosx=cosa
Soitaun réel donné. Les solutions dansRde l’équation cosx=cosa sont :
(x =. . . .
x =. . . .oùkest un entier relatif. O I
J
M(a)
N(−a) cosa
Résoudre l’Equation : sinx=sina
Soitaun réel donné. Les solutions dansRde l’équation sinx=sina sont :
(x =. . . .
x =. . . .oùkest un entier relatif.
O I
J
M(a) N(π−a)
sina
EXEMPLES:(VIDÉO10)
1. Résoudre dansRl’équation cosx= p3 . . .. . .. . .. . .. . .. . . 2
O I
J
2. Résoudre dansRl’équation sinx=sin7π
10.(Vidéo 11)
O I
J
