Soit M le point du cercle trigonométrique associé à un réel x . On appelle cosinus du réel x , l'abscisse du point M. On appelle sinus du réel x , l'ordonnée du point M.

TRIGONOMETRIE

Le cercle de centre O et de rayon 1 sur lequel on a choisi un sens positif (le sens inverse des aiguilles d'une montre), est appelé cercle trigonométrique.

Le sens positif est le sens direct. L'autre sens est le sens négatif ou indirect.

Soit M le point du cercle trigonométrique associé à un réel x . On appelle cosinus du réel x , l'abscisse du point M. On appelle sinus du réel x , l'ordonnée du point M.

Valeurs particulières

t 0 π

6 π

4 π

3 π

2 π

cos t 1 √ 3

2

√ 2 2

1

2 0 -1

sin t 0 1

2 √ 2

2

√ 3

2 1 0

Propriétés du sinus et du cosinus : Pour tout réel t :

cos (−t )=cos (t) et sin (−t )=sin (t) cos (π+ t )=−cos (t ) et sin ( π+t)=−sin (t )

cos (π−t )=−cos (t ) et sin (π−t )=sin ( t) cos ( ^π 2 +t ) ^{=−sin( t ) et sin} ( ^π 2 +t ) ^{=cos (t )}

cos ( ^π 2 −t ) ^{=sin (t ) et sin} ( ^π 2 −t ) ^{=cos(t )} -1  cos t  1 et -1  sin t  1

cos (t +k × 2 π)=cos x et sin(t + k ×2 π)=sin x avec k entier

cos

t+sin

t =1

Pour tout réel a et b :

cos (a+b)=cos a cos b−sin a sin b cos (a−b)=cos a cos b+sin a sin b sin ( a+b )=sin a cos b+sin b cos a sin ( a−b)=sin a cos b−sin b cos a

cos (2 a )=cos

(a )−sin

( a) et sin ( 2 a)= 2 sin a cos a Equations trigonométriques : Soit a et b des réels quelconques.

cos a=cos b ⇔ a =b+ 2 k π ou a=−b +2 k π avec k entier.

sin a=sin b ⇔ a=b+ 2 k π ou a=π−b+2 k π avec k entier.

LOI BINOMIALE

Lorsque dans une expérience aléatoire, on s'intéresse uniquement à la réalisation d'un certain événement S (appelé succès) ou à sa non réalisation S ( appelé échec), on dit que cette expérience est une épreuve de Bernoulli. Lorsqu'on effectue plusieurs épreuves de Bernoulli successives et indépendantes les unes des autres, on dit qu'il s'agit d'un schéma de Bernoulli.

On considère un schéma de Bernoulli constitué par la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques. Pour chacune d'elles, on note p la probabilité d'obtenir un succès S. Soit X la variable aléatoire comptant le nombre de succès. X suit la loi binomiale de paramètres n et p.

Pour tout entier k compris entre 0 et n on a : P ( X =k )= ( ⁿ k ) ^{× p}

^{×(1− p)}

^.

( k ⁿ ) est le coefficient binomiale de k parmi n. Il correspond au nombre de chemins sur l'arbre pondéré menant à k succès. On le détermine soit à l'aide de l'arbre soit à l'aide de la calculatrice.

On peut aussi utiliser le triangle de Pascal.

DROITES

Toute droite a une équation de la forme ax + by + c=0, où a, b et c sont des réels. C’est une équation cartésienne de la droite.

Méthode Pour déterminer une équation cartésienne d’une droite dont on connaît deux points A et B, on exprime le fait qu’un point M appartient à ( AB ) si et seulement si les vecteurs ⃗ AM et ⃗ AB sont colinéaires puis on utilise la formule xy ′− yx ′=0.

Un vecteur directeur d’une droite est un vecteur non nul dont la direction est celle de la droite.

Soit D une droite d’équation ax +by +c =0, où a, b et c sont des réels ; le vecteur ⃗ u ( ^−b a ) ^{est un}

vecteur directeur de la droite D.

Méthode : pour déterminer si deux droites sont parallèles, on peut chercher un vecteur directeur de chacune de ces droites et chercher si ces vecteurs sont colinéaires.

Méthode Pour déterminer une équation cartésienne d’une droite dont on connaît un point A et un vecteur directeur ⃗ u ( ^−b a ) , on écrit que la droite a une équation de la forme ax +by +c =0 et on détermine c en utilisant les coordonnées du point A.

Un vecteur normal à une droite est un vecteur non nul orthogonal à un vecteur directeur de la droite.

Soit D une droite d’équation ax +by +c =0, où a, b et c sont des réels ; le vecteur ⃗ n ( ^a b ) ^{est un}

vecteur normal de la droite D.

PRODUIT SCALAIRE Vecteurs

Coordonnées d ’ un vecteur : Dans un repère, si A et B, alors ⃗ AB ( ^{x y}

⁻ − ^x y

)

Colinéarité : Les vecteurs ⃗ u ( ^x y ) ^{et ⃗ u '} ( ^{x '} y ' ) sont colinéaires si et seulement si xy ′− yx ′=0.

Relation de Chasles : pour tous points A, B et C du plan, on a ^⃗ AB + ^⃗ BC = ^⃗ AC .

4 façons de définir le produire scalaire : Analytiquement :

Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on considère les vecteurs ⃗ u ( ^x y ) ^{et ⃗ v} ( ^{x '} y ' ) ^.

Le produit scalaire de ⃗ u par ⃗ v , noté ⃗ u . ⃗ v , est le nombre réel défini par ⃗ u . ⃗ v =xx ' + yy ' . Avec les normes

Soit ⃗ u un vecteur et deux points A et B tels que ⃗ u=⃗ AB . On appelle norme de ⃗ u le réel positif ou nul, noté || ⃗ u ||, défini par ⃗ u=⃗ AB .

Si ⃗ u et ⃗ v sont deux vecteurs du plan, ⃗ u . ⃗ v = ½ [|| ⃗ u +⃗ v ||

- || ⃗ u ||

- || ⃗ v ||

].

Avec le projeté orthogonale

Soit A, B et C trois points du plan avec A ≠ B et A ≠ C . Soit H le projeté orthogonal de C sur (AB).

Si H appartient à la demi-droite [AB) :

⃗ AB . ⃗ AC = ⃗ AB . ⃗ AH = AB × AH

Si H n'appartient pas à la demi-droite [AB) :

⃗ AB . ⃗ AC = ⃗ AB . ⃗ AH = - AB × AH Avec norme et cosinus

Si ⃗ u et ⃗ v sont deux vecteurs non nuls, ⃗ u . ⃗ v = || ⃗ u || × || ⃗ v || × cos (⃗ u , ⃗ v ) Si A, B et C sont des points distincts, ^⃗ AB . ^⃗ AC = AB × AC × cos (̂ BAC).

Propriétés du produit scalaire

Pour tous vecteurs ⃗ u et ⃗ v du plan, ⃗ v . ⃗ u=⃗ u . ⃗ v . On dit que le produit scalaire est symétrique.

Pour tous vecteurs ⃗ u , ⃗ v et w ⃗ du plan et pour tout réel , 

⃗ u .( ⃗ v )=∗(⃗ u .⃗ v ) et ⃗ u (⃗ v + ⃗ w)=⃗ u . ⃗ v +⃗ u . w ⃗

Soit ⃗ u un vecteur. Le nombre ⃗ u . ⃗ u est appelé carré scalaire de ⃗ u et noté ⃗ u

. Identités remarquables Pour tous vecteurs ⃗ u et ⃗ v du plan,

(⃗ u +⃗ v )

=⃗ u

+ 2 ⃗ u . ⃗ v +⃗ v

; (⃗ u−⃗ v )

=⃗ u

−2 ⃗ u . ⃗ v +⃗ v

; (⃗ u+⃗ v )(⃗ u−⃗ v)=⃗ u

−⃗ v

Dans un repère orthonormé du plan, si ⃗ u ( ^x y ) ^{alors || ⃗ u || = √ x}

^{+ y}

^.

Pour tout vecteur ⃗ u , ⃗ u

= || ⃗ u ||

. En particulier, ⃗ AB

= || ^⃗ _AB ||

= AB

. Pour tout vecteur ⃗ u et pour tout réel k , || k ⃗ u || = | k | × || ⃗ u ||

Orthogonalité et produit scalaire

Deux vecteurs ⃗ AB et ⃗ CD sont orthogonaux si et seulement si soit l'un des deux vecteurs est le vecteur nul, soit les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires.

Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.

Equation de cercle

Soit C le cercle de centre Ω(a ; b) et de rayon r.

Un point M (x ; y) appartient à C si et seulement si ( x−a)

+( y−b)

=r

. On dit que ( x−a)

+( y−b)

=r

est une équation du cercle C.

Un point M (x ; y) appartient au cercle de diamètre [AB] si et seulement si ^⃗ _MA . ⃗ MB = 0.

Théorème de la médiane

Soit A et B deux points du plan et I le milieu de [AB].

Pour tout point M du plan, MA

+ MB

=2 MI

+ AB

2 . Formule d'Al-Kashi : Pour tout triangle ABC :

a

= b

+ c

−2 b c cos ̂ A ; b

=a

+c

−2 a c cos B ; ̂ c

=a

+b

−2 a b cos C ̂