On appelle cosinus du réel

I – Définitions : 1 ‐ Cosinus et Sinus :

) , , (

→

→

OB OA O

Soit un repère orthonormé du plan. Soit α un réel appartenant à [0,π] et M l’unique point du demi cercle trigonométrique (C) tel que 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴� =𝛼𝛼 .

On appelle cosinus du réel 𝛼𝛼 , l’abscisse du point M et on le note 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝛼𝛼.

On appelle sinus du réel 𝛼𝛼 , l’ordonné du point M et on le note 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝛼𝛼.

 Soit

2‐ Tangente et Cotangente :

α un réel appartenant à 



∪

 

 π π π

2, ,2

0 .

On appelle tangente du réelα le réel noté tanα et défini par

α α α

cos tan = sin

 Soit tanα un réel appartenant à ] [0,π .

On appelle cotangente du réelα le réel noté cotα et défini par

α α α

sin cot = cos

 Pour tout

II – Angles supplémentaires : ]

, 0 [ π

α∈ , on a cos(π −α)=………. et sin(π −α)=……….

 Pour tout α∈ ∪_^ _^

 π π π 2, ,2

0 , on a tan(π −α)=………. =……….

 Pour tout α∈] [0,π , on a cot(π −α)=………. =……….

2^ème Année

2015/2016

« Trigonométrie »

Tél. : 50 490 701

Calculer sans utiliser la calculatrice :

12 cos11 12 cos7 12 cos5

cos12π π π π

+ +

+

12 sin11 12 sin7 12 sin5

sin12π ₊ π ₋ π ₋ π

 _{Pour tout}

III– Angles complémentaires :





∈ 0,π2

α , on a =



 

 −π α

cos 2 ……….

et =



 

 −π α

sin 2 ……….

 Pour tout 



∈ 0,π2

α , on a =



 

 −π α

tan 2 ……….

 Pour tout 



∈ 0,π2

α , on a =



 

 −π α

cot 2 ……….

Pour tout

IV– Relations fondamentales : ]

, 0 [ π

α∈ , on a cos²α +sin²α =…………..

Pour tout α∈ ∪_^ _^

 π π π 2, ,2

0 , on a 1+tan²α =…………..

Pour tout α∈] [0,π , on a 1+cot²α =…………..

V– Rapports trigonométriques des angles remarquables :

𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕(𝒙𝒙) 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒕𝒕(𝒙𝒙)

I – La loi du sinus et L’aire d’un triangle : 1 ‐ La loi du sinus

Soit ABC un triangle on pose On a :

a

BC= ,^AC=bet ^AB=c.

2 – Aire d’un triangle :

a BC=

Soit ABC un triangle on pose ,^AC=bet ^AB=c.

S désigne l’aire du triangle ABC et R le rayon du cercle circonscrit à ABC.

II‐ Théorème d’EL‐Kashi :

Soit ABC un triangle on pose ^{BC =a AC=b}et ^AB=c.

III – Relations métriques dans le triangle rectangle : Soit ABC un triangle rectangle en A et soit H le pied de la hauteur issue de A, on a :

C c B b A a

sin ˆ sin ˆ

sin ˆ = =

B ac A bc C

ab

S sin ˆ

2 ˆ 1 2 sin ˆ 1 2 sin

1 = =

=

S R abc C

c B b A a

2 2 sin ˆ sin ˆ

sin ˆ = = = =

A bc c

b

a² = ² + ² −2 .cos ˆ B ac c

a

b² = ² + ² −2 .cos ˆ C ab a

b

c² = ² + ² −2 .cos ˆ

2 2

2 AB AC

BC = +

AC AB BC

AH× = × HC HB AH² = ×

BC BH AB² = ×

BC CH AC² = ×

On considère un triangle ABC tel que EXERCICE N°1

3

ˆ 2π

= C A

B _et BC = 3_. 1) Calculer le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC.

2) On suppose que 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴� =^𝜋𝜋₄. Calculer AC.

3) Soit H le projeté orthogonal de C sur (AB). Montrer que 𝐴𝐴=^√6−√2₂ . En déduire 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠₁₂^𝜋𝜋, 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐₁₂^𝜋𝜋, 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠^5𝜋𝜋₁₂ et 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐^11𝜋𝜋₁₂.

Soit ABC un triangle quelconque tel que: 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴� = ^𝜋𝜋₄ 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 � = ^𝜋𝜋₃ et AC = 4 EXERCICE N°2

3_. 1 ) Montrer que BC = 4 2_.

2 / Soit [ CH ] la hauteur issue de C.

a / Calculer AH et BH .

b/ Montrer que 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴� = ^5𝜋𝜋₁₂ puis calculer cos^5𝜋𝜋₁₂ . Pour tout x Є [ 0 , π ] on donne P (x ) = - 2 sin EXERCICE N°3

3

1/ Calculer P ( 0 ) et P ( ^𝜋𝜋₃ ) . x + 2 sinx - cos²x . 2/ a ) Montrer que P ( π – x ) = P ( x ) Pour tout x Є [ 0 , π ] . b ) Déduire P ( ^2𝜋𝜋₃ ) .

3/ Montrer que pour tout x Є [0 , π ] on a: P ( x ) = cos²x . ( 2 sinx - 1 ) . 4/ Résoudre dans [0, π ] l’équation P( x ) = 0.

5/ Calculer sans utiliser la calculatrice : cos²( ₁₆^𝜋𝜋 ) + cos²( ^7𝜋𝜋₁₆ ).