cosinus et sinus

ANALYSE

3

Dérivation.

Fonctions

cosinus et sinus

Connaissances nécessaires à ce chapitre

I Calculer la dérivée d’une fonction f

I Déterminer certaines caractéristiques defà partir de f⁰

I Utiliser le cercle trigonométrique, notamment pour donner une valeur de cosinus et sinus ou résoudre une équation.

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1 Donner l’ensemble de dérivabilité de la fonction f et calculerf‘(x)pour toutxdans cet ensemble.

1)f(x)=3x⁴−7x²+2 4)f(x)=(x+1)³ 2)f(x)=(x²+2)(x³+3) 5)f(x)=2

3x√ x 3)f(x)=2x−3

5x−7 6)f(x)=

√x+1

√x−1 2 Soit la fonction fdéfinie surR^∗par :

f(x) =−x³+2x²+ 1 x. 1)On admet quef est dérivable surR^∗.

a)Montrer quef⁰(x) =−(x−1)²(3x²+2x+1)

x² .

b)En déduire les variations de f. 2) f admet-elle un extremum local en 1 ?

3)Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative def aux points d’abscisses−1 et 1.

3 Dresser le tableau de variation des fonctions définies ci-après et préciser les extremums locaux.

• f(x) =−2x²+5x−3 pour tout réelx

• g(x) =2− 3

x−1 pourx6=1

• h(x) =√

2x−3 pourx> 3 2

• A(x) = (x+1) √

x−2 pourx>0

4 Un carré rouge et un dodécagone regulier vert sont inscrits dans le cercle trigonométrique suivant :

I A B J C

D E F

I⁰

P Q

R J⁰ S

T U

1)Associer à chaque point une mesure en radians.

2)Donner les valeurs exactes de : a)sin2π

3 b)cos5π

4 c)sin11π

2 d)cos7π 6 3)Résoudre les équations sur[0 ; 2π].

a)cosx= 1

2 b)sinx=

√3

2 c)cosx=−

√2 2 5 Résoudre sur]−π; π]les équations suivantes : 1)2 sin²x+5 sinx+2=0

2)cos²x−

! 3+

√2 2

"

cosx+ 3√ 2 2 =0

äää

Activités d’approche

ACTIVITÉ 1 Vers de nouvelles formules de dérivation

Partie A : Fonction sous radical

Soitula fonction polynôme du second degré définie surRparu(x) =x²−2x−8.

1) a)Étudier le signe deu(x).

b)En déduire l’ensemble de définition de la fonction√ u.

2) a)Soithun réel strictement positif. Montrer que

pu(4+h)−p u(4)

h =

r 1+6

h. b)Déterminer lim

h→0

pu(4+h)−p u(4)

h .

c) En déduire que la fonction√

un’est pas dérivable en 4.

Pour la suite, on admet que√

uest dérivable sur]−∞; −2[∪]4 ; +∞[.

3)Soitvune fonction quelconque dérivable et strictement positive sur un intervalleI.

On pose f =√

vet on admet quef est dérivable surI.

a) En dérivant chaque membre de l’égalitéf×f =v, écrire f⁰en fonction dev⁰et f. b)En déduire une formule pour √

v₀ .

4)Appliquer la formule précédente et exprimer la dérivée de la fonctionf :x7→p

x²−2x−8.

Faire de même pour les fonctions suivantes, après avoir déterminé leurs ensembles de définition et de dérivabilité.

• g:x7→√ 5−3x

• h:x7→

r4x−9 7x−3

• v:x7→p

−9x²+12x−4 Partie B : Fonction en puissance

1)Soit f la fonction polynôme de degré 4 définie surRparf(x) =

x²−2x+22

. a) Développerf(x). En déduire une expression développée def⁰(x).

b)En dérivant un produit, déterminer une expression factorisée def⁰(x).

c) Pourquoi la forme factorisée def⁰(x)est-elle plus satisfaisante que sa forme développée ? 2) a)Justifier que, siuest dérivable surI, alors, pour toutn∈N,uⁿest dérivable surI.

b)Calculer u²₀

, u³₀

et u⁴₀

. Conjecturer une expression de(uⁿ)⁰pour toutn∈N. c) Démontrer par récurrence la conjecture établie précédemment.

3)Déterminer les ensembles de définition et de dérivabilité de chaque fonction, puis appliquer la formule précédente pour obtenir une expression de sa fonction dérivée.

• g:x7→(5−3x)³

• h:x7→

4x−9 7x−3

2

• v:x7→

−9x²+12x−44

Activités d’approche

ACTIVITÉ 2 Vers les fonctions sinus et cosinus

Partie A : Dégager le sinus

1)Ouvrir un logiciel de géométrie dynamique et choisir comme unité d’angle le radian.

a) Créer les pointsO(0 ; 0),I(1 ; 0),J(0 ; 1), K(−1 ; 0)etL(0 ; −1).

b)Créer le cercle de centreOet de rayon 1.

c) Créer un curseur d’angleαallant de−π

2 ≈ −1, 57 à 3π

2 ≈4, 71 avec un pas de 0,01.

d)Créer le pointM(cosα; sinα)et le segment[OM].

Justifier queMappartient au cercle de centreOet de rayon 1.

e) Créer le pointS(α; sinα)et le segment[MS].

f) Afficher la trace deSet animer le curseurα.

α=1, 05 rad

O I

M S

J

K

L

2)Soit la fonction f :α7→sinαdéfinie sur

−π 2 ; 3π

2

.

a) Comment varie l’ordonnée deSquandMparcourt l’arc de cercle :

• >

LIdeLàI? • >

I JdeIàJ? • >

JKdeJàK? • >

KLdeKàL? b)Décrire les variations def. Quels sont ses extremums ?

c) Dresser un tableau de variation def.

3) a)Donner les valeurs deαassociées aux pointsI,J,KetLdans les intervalles suivants.

•

−π 2 ; 3π

2

• 3π

2 ; 7π 2

b)Soit la fonctiong:α7→sinαdéfinie sur 3π

2 ; 7π 2

.

Expliquer pourquoi on peut aisément déduire le tableau de variation degde celui def? c) Quelle formule trigonométrique met-on ainsi en évidence ?

d)Quelle particularité aura la courbe représentative de la fonctionα7→sinαdéfinie surR? Partie B : Déboucher sur cosinus

1)Soit la fonctionh:α7→cosαdéfinie sur[−π; π].

a) Écrire plus simplement sin α+π

2 .

b)En déduire les variations dehà partir de celles de la fonction f de la première partie.

2) a)Soitαun réel. Écrire plus simplement cos(−α)et sin(−α).

b)Qu’en déduit-on pour les courbes représentatives dans un repère orthogonal des fonctions α7→cosαetα7→sinαdéfinies surR?

Cours - Méthodes

1. Rappels

A. Dérivabilité et fonction dérivée

DÉFINITION :Nombre dérivé

Soitf une fonction définie sur un intervalleIdeR. Soitaethdeux réels tels queaeta+happartiennent àI.

La fonctionf estdérivable enasi, et seulement si, lim

h→⁰

f(a+h)−f(a)

h =`où`est un réel.

Le réel`est alors appelénombre dérivé de f enaet se note f⁰(a).

DÉFINITION :Fonction dérivable - Fonction dérivée Soit une fonctionf définie sur un intervalleIdeR.

La fonctionf estdérivable surIsif est dérivable en tout réelxdeI.

La fonctionf⁰:x7→ f⁰(x)définie surIest appelée lafonction dérivée def surI.

REMARQUES:

Une fonction peut être définie enamais non dérivable ena.

Par exemple, prenons la fonction racine carrée qui est définie en 0.

On a

√h−√ 0

h =

√h h = 1

√h. Or, lim

h→⁰ h>₀

√1

h = +∞. Donc, la fonction racine carrée n’est pas dérivable en 0.

Les physiciens expriment une variation à l’aide du symbole∆. Ainsi, entrexetx₀, elle est notée∆x=x−x₀et∆y= f(x)−f(x₀). On a alors : f⁰(x₀) = lim

x→^x0

∆y

∆x. On peut noter f⁰(a)également df

dx(a)qui exprime la différentielle de la fonction f ena par rapport à la variablex. Cela sert à écarter toute ambiguïté s’il y a d’autres variables.

B. Applications de la dérivation

PROPRIÉTÉ :Tangente en un point à une courbe

Soitf une fonction dérivable enaet^C_f sa courbe représentative dans un repère du plan.

Une équation de la tangente à la courbe^C_f au point d’abscisseaest : y= f⁰(a)(x−a) +f(a).

PROPRIÉTÉ :Du signe de

f

( x )

f

Soit une fonctionf définie et dérivable sur un intervalleIdeR.

Si f⁰ est strictement positive sur I, sauf éventuellement en un nombre fini de points où elle s’annule, alors f est strictement croissante surI.

Si f⁰est strictement négative sur I, sauf éventuellement en un nombre fini de points où elle s’annule, alors f est strictement décroissante surI.

Si f⁰est nulle surI, alorsf est constante surI.

Cours - Méthodes

REMARQUE:« sauf éventuellement en un nombre fini de points où elle s’annule » signifie que la courbe représentative de f peut admettre des tangentes horizontales mais ne peut avoir à aucun endroit la forme d’un segment parallèle à l’axe des abscisses.

1 2 3

1 2 3 4

−¹

C_f tangente horizontale

M

f⁰est strictement positive sauf en 2 où elle s’annule donc f est strictement croissante surR.

1 2 3

1 2 3 4

−¹

C_f segment

horizontal

A B

f ’ est strictement positive sur]−^∞; 1[∪]2 ; ∞[ donc f n’est passtrictementcroissante surR.

PROPRIÉTÉ :Extremums locaux d’une fonction

Soitf une fonction définie et dérivable sur un intervalleIdeReta∈I.

Si fadmet un extremum local ena, alors f⁰(a) =0.

Si f⁰s’annule et change de signe ena, alors fadmet un extremum local ena.

C. Calcul de dérivées

PROPRIÉTÉ :Dérivées des fonctions usuelles On désigne par^Dfl’ensemble de définition de la fonction f.

Toutes les fonctions du tableau ci-dessous sont dérivables sur^D_fà l’exception de la fonction racine carrée qui n’est pas dérivable en zéro.

Fonction f ^D_f Dérivée f⁰

f(x) =k (k∈R) R f⁰(x) =0 f(x) =xⁿ (n∈N^∗) R f⁰(x) =nxⁿ⁻¹ f(x) = 1

x R^∗ f⁰(x) =− 1

x² f(x) =√

x [0 ; +∞[ f⁰(x) = 1 2√ x

PROPRIÉTÉ :Opérations sur les fonctions dérivées Soit un réelket deux fonctionsuetvdérivables sur un intervalleI.

Les fonctionsu+v,kuetuvsont dérivables surI.

Les fonctions 1 v et u

v sont dérivables surIsauf là oùvs’annule.

Fonction u+v ku uv 1

v

u v Dérivée u⁰+v⁰ ku⁰ u⁰v+uv⁰ −v⁰

v²

u⁰v−uv⁰ v²

Cours - Méthodes

2. Dérivées des fonctions composées

Dans cette partie,udésigne une fonction etIun intervalle.

PROPRIÉTÉ :Dérivée de

√ u

Siuest dérivable et strictement positive surI, alors√

uest dérivable surIet √ u₀

= u⁰ 2√

u. PREUVE Soit un réela∈Iet un réelh>0 tel quea+hsoit dansI.

On calcule le taux d’accroissement de√

uentreaeta+h.

pu(a+h)−p u(a)

h = u(a+h)−u(a)

h

pu(a+h) +p

u(a) = u(a+h)−u(a)

h × 1

pu(a+h) +p u(a). Or, la fonctionuest dérivable surIdonc lim

h→0

u(a+h)−u(a)

h =u⁰(a).

D’où lim

h→0

pu(a+h)−p u(a)

h =u⁰(a)× 1

2p

u(a) = u⁰(a) 2p

u(a). PROPRIÉTÉ :Dérivée de

u

u

Soitn∈N∗. Siuest dérivable surIalors :

La fonctionuⁿest dérivable surIet(uⁿ)⁰=nu⁰uⁿ⁻¹.

La fonctionu⁻ⁿest dérivable surIsauf là oùus’annule et u⁻ⁿ₀

=−nu⁰u⁻ⁿ⁻¹. PREUVE

• On démontre par récurrence. Voici l’initialisation et l’hérédité :

u¹₀

=u⁰=1×u⁰u¹⁻¹. La proposition est donc initialisée au rang 1.

Supposons qu’il existe un entierk∈N∗tel que la propriété « u^k₀

=ku⁰u^k−1» soit vraie.

u^k+1₀

= u^ku₀

= u^k₀

u+u^ku⁰=ku⁰u^k−1u+u^ku⁰= (k+1)u⁰u^k. La propriété est encore vraie au rang suivant donc elle est héréditaire.

• Siuest dérivable surI, alors1

uest dérivable surIsauf là oùus’annule.

u⁻ⁿ₀

= 1

uⁿ ₀

= 1

u _n0

=n 1

u ₀1

u _n−1

d’après la première propriété.

Ainsi : u⁻ⁿ₀

=n

−u⁰ u²

1

uⁿ⁻¹ =− nu⁰

uⁿ⁺¹ =−nu⁰u⁻ⁿ⁻¹. PROPRIÉTÉ :Dérivée de

x 7→ ^u ( ax + b )

Soit deux réelsaetb. Siuest dérivable surIalors :

La fonctionf :x7→u(ax+b)est dérivable là où(ax+b)∈Iet f⁰(x) =au⁰(ax+b).

PREUVE Soitudérivable surIet deux réelsaetbtels quex∈I⇒(ax+b)∈I.

• Sia=0, alorsf :x7→u(b)est constante et on a bienf⁰(x) =0=0×u⁰(b).

• Prenonsa6=0. La fonctionuest dérivable surIdonc : pour tousX∈IetHréel tels que(X+H)∈I: lim

H→0

u(X+H)−u(X)

H =u⁰(X).

PosonsX=ax+betH=ah. Alors,Htend vers 0 vu quehtend vers 0 et quea6=0. Ainsi : lim0

u(ax+b+ah)−u(ax+b)

ah =u⁰(ax+b)soit lim

0

u(a(x+h) +b)−u(ax+b)

h =au⁰(ax+b).

Cours - Méthodes

MÉTHODE 1 Dériver une fonction composée Ex. 11 p. 94 1)On reconnaît le type de composée (√u,uⁿ,u⁻ⁿoux7→u(ax+b)) et on identifieu.

2)On détermine les ensembles de définition et de dérivabilité de la fonction.

3)On calculeu⁰(x)et on applique la formule de dérivation qui convient.

Exercice d’application

Déterminer les ensembles de définition^D et de dérivabilité^D0de f, puis calculer f⁰(x).

1)f(x) =p

x²−x−2 2)f(x) =

3x−1 2x−4

2

3)f(x) = 1

√x−1₃ 4)f(x) = (2x−3)⁵

Correction

1) f est du type√

uavecu(x) =x²−x−2.

Or,u(x)est un trinôme de degré 2 ayant deux racines :−1 et 2.

Ainsi,u(x)>0 six6−1 oux>2 et fest définie surD=]−∞;−1] ∪[2 ; +∞[.

Et comme f =√

uest dérivable surDsauf là oùus’annule alorsD⁰=]−∞;−1[∪]2 ; +∞[.

On au⁰(x) =2x−1 d’oùf⁰(x) = u⁰(x) 2p

u(x) = 2x−1 2√

x²−x−2. 2) f est du typeu²avecu(x) = 3x−1

2x−4.

Or,uest définie surR\ {2}doncf est définie surD=R\ {2}. f est dérivable sur son ensemble de définition doncD⁰ =D.

On au⁰(x) =3(2x−4)−2(3x−1)

(2x−4)² = −10 (2x−4)². D’où, f⁰(x) =2u⁰(x)u²⁻¹(x) =2u⁰(x)u(x) =2× −10

(2x−4)² ×3x−1

2x−4 =−20(3x−1) (2x−4)³ . 3) f(x) = √

x−1₋3est du typeu⁻³avecu(x) =√ x−1.

Or,uest définie sur[0 ; +∞[etf aussi sauf là oùus’annule. Donc,D= [0 ; 1[∪]1 ; +∞[.

La fonctionx7→√

xn’est pas dérivable en 0 doncuet f aussi. Ainsi,D⁰=]0 ; 1[∪]1 ; +∞[.

On au⁰(x) = 1 2√

x d’oùf⁰(x) =−3u⁰(x)u⁻³⁻¹(x) =−3u⁰(x)u⁻⁴(x) =− 3 2√

x √

x−14. 4)On pourrait voir le typeu⁵. Voyons plutôt le typeu(ax+b)avecu(x) =x⁵,a=2 etb=−3.

Il est évident queD=D⁰=Rvu quefest une fonction polynôme de degré 5 !

On au⁰(x) =5x⁴d’oùf⁰(x) =au⁰(ax+b) =2u⁰(2x−3) =2×5(2x−3)⁴=10(2x−3)⁴.

REMARQUE:Les exemples de formules de dérivation des composées vues précédemment mettent en évidence une expression unifiée de la dérivée dex 7→ f(u(x)). On donne, ci- après, la propriété générale mais sa connaissance n’est pas une capacité attendue.

PROPRIÉTÉ (admise)

Soituune fonction dérivable sur un intervalle I deR et f une fonction dérivable sur un intervalleJdeRtelle que pour toutx∈I,u(x)∈J.

La fonctionf◦ucomposée deusuivie def est dérivable surI, et pour toutx∈I: (f◦u)⁰(x) =u⁰(x)×(f⁰◦u)(x)ou [f(u(x))]⁰=u⁰(x)× f⁰(u(x)).

Cours - Méthodes

3. Fonctions cosinus et sinus A. Définition et rappels

Soit(O; I, J)un repère orthonormé direct. Le pointM, image d’un réelx sur le cercle trigonométrique de centreO, a pour coordonnées(cosx; sinx) où cosxest le cosinus dexet sinxest le sinus dex.

x 0 π/6 π/4 π/3 π/2 π

cosx 1 √

3/2 √

2/2 1/2 0 −1

sinx 0 1/2 √

2/2 √

3/2 1 0

+

x x

O I

J

cosx

sinx M

DÉFINITION :Fonctions cosinus et sinus

La fonction cosinus, notée cos, est la fonction définie surRpar cos :x7→cosx.

La fonction sinus, notée sin, est la fonction définie surRpar sin :x7→sinx.

B. Propriétés des fonctions cosinus et sinus

DÉFINITION :Fonction périodique Soitf une fonction définie surRet un réelT.

festpériodiquede périodeTou estT-périodique si, pour toutx∈R,f(x+T) = f(x).

DÉFINITION :Fonctions paire et impaire

Soit une fonctionf définie sur un ensemble^D_f symétrique par rapport à 0.

Une fonction festpairesi, pour toutx∈^Df, f(−x) = f(x).

Une fonction festimpairesi, pour toutx∈^Df,f(−x) =−f(x).

PROPRIÉTÉ

Les fonctions cos et sin sont 2π-périodiques.

La fonction cos est paire et la fonction sin est impaire.

PREUVE Pour tout réelx, on a en effet :

• cos(x+2π) =cosxet sin(x+2π) =sinx. • cos(−x) =cosxet sin(−x) =−sinx.

REMARQUE:

Dans un repère, les courbes représentatives de cos et sin « se répètent » tous les 2π. Dans un repère orthogonal, la courbe représentative de cos est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées et celle de sin est symétrique par rapport à l’origine du repère.

C. Dérivabilité et variations

PROPRIÉTÉ (admise) :Dérivées des fonctions

cos

sin

Les fonctions cos et sin sont dérivables et continues surR.

cos⁰=−sin sin⁰=cos

Cours - Méthodes

PROPRIÉTÉ

Les variations des fonctions cos et sin sur[0 ;π]sont données par les tableaux ci-contre.

x

cos

0 π

11

−1

−1 π 2

0

x

sin

0 π

2 π

00 11

00

Les courbes représentatives de cos et sin sont appelées dessinusoïdes.

1

−1

π

2 π 3π

2 2π

−π

−π 2

−3π

−2π 2

y=cosx y=sinx

x y

PREUVE

• cos⁰=−sin. Or, 0<x<π⇒sinx>0 c’est-à-dire−sinx<0.

De plus, la fonction sin ne s’annule qu’en 0 etπ. Donc, cos est strictement décroissante sur[0 ; π].

• sin⁰=cos. Or, 0<x< π

2 ⇒cosx>0 et−π

2 <x<π⇒cosx<0.

De plus, la fonction cos ne s’annule qu’en π 2. Donc, sin est strictement croissante surh

0 ; π 2

iet strictement décroissante surh

−π 2 ; π

i.

MÉTHODE 2 Dériver une fonction formée de

cos

sin

En général, ce type de fonction définie est dérivable surR. Si ce n’est pas le cas, on établira d’abord les ensembles de définition et de dérivabilité ( ^{MÉTHODE 1 p. 89}).

Exercice d’application Calculer f⁰(x). L’écrire sous une forme facilitant l’étude de son signe.

1)f(x) =sin 3x−π

4

2) f(x) =cos²x 3)f(x) =sinx(1+cosx) Correction

1) f est de la formeu(ax+b)avecu(x) =sinx,a=3 etb= π 4. On au⁰(x) =cosxd’où f⁰(x) =au⁰(ax+b) =3 sin

3x−π 4

. 2) f est de la formeu²avecu(x) =cos(x).

On au⁰(x) =−sinxd’oùf⁰(x) =2u⁰(x)u(x) =2(−sinx)cosx=−2 sinxcosx=−sin 2x.

3) f est de la formeuvdont la dérivée est(u⁰v+uv⁰)avecu(x) =sin(x)etv(x) =1+cos(x).

f⁰(x) =cosx(1+cosx) +sinx(−sinx) =cosx+cos²x−sin²x.

Or, cos²x+sin²x=1 donc−sin²x=cos²x−1. D’où f⁰(x) =2 cos²x+cosx−1.

PosonsX=cosx. Alors,f⁰(x) =2X²+X−1= (2X−1)(X+1)après calcul des racines.

Ainsi, f⁰(x) = (2 cosx−1)(cosx+1).

Cours - Méthodes

PROPRIÉTÉ

xlim→0

cosx−1

x =0 lim

x→0

sinx x =1

PREUVE Les fonctions cos et sin sont dérivables surRdonc en particulier en 0. Ainsi :

• lim

x→⁰

cosx−1 x =lim

x→⁰

cosx−cos 0

x−0 =cos⁰(0) =−sin 0=0.

• lim

x→⁰

sinx x =lim

x→⁰

sinx−sin 0

x−0 =sin⁰(0) =cos 0=1.

MÉTHODE 3 Étudier une fonction trigonométrique Ex. 57 p. 98 Il arrive fréquemment qu’une fonction trigonométrique soit périodique et paire ou impaire.

Cela amène alors souvent à étudier d’abord la fonction sur un intervalle restreint avant de l’étudier sur un ensemble plus grand.

Exercice d’application Soit la fonction f définie surRpar f(x) = 3 sinx 2+cosx .

1)Calculer f⁰(x). Étudier son signe sur[0 ; π]. En déduire les variations de f sur[0 ; π].

2)Calculer f(−x). En déduire les variations de fsur[−π; π].

3)Montrer que fest 2π-périodique.

4)Tracer la courbe représentative^C de f sur[0 ; π]puis sur[−4π; 4π].

Correction

1) f est dérivable surRcomme quotient de fonctions dérivables surRavec 2+cosx6=0.

f⁰(x) =3 cosx(2+cosx)−3 sinx(−sinx)

(2+cosx)² = 6 cosx+3 (2+cosx)² = 6

cosx+¹₂ (2+cosx)² . f⁰(x)est du signe de cosx+1

2 sur[0 ; π]. Or :

• sur

0 ; 2π 3

, cosx>−1

2 ⇔cosx+1 2 >0 ;

• sur 2π

3 ;π

, cosx<−1

2 ⇔cosx+1 2 >0.

Et f⁰(x)ne s’annule qu’en2π 3 . D’où le tableau de variation ci-contre.

x f⁰(x)

f

0 2π

3 π

+ 0 −

00

√3

√3

00

2) f(−x) = 3 sin(−x)

2+cos(−x) = −3 sinx

2+cosx =− 3 sinx

2+cosx =−f(x)donc f est impaire.

On peut donc limiter l’étude def à[0 ; π]. On peut en déduire que la fonction fest décrois- sante sur[−π;−2π

3]et sur[2π

3 ;π]et croissante sur[−2π 3 ;2π

3 ].

3) f(x+2π) = 3 sin(x+2π)

2+cos(x+2π) = 3 sinx

2+cosx = f(x)doncf est 2π-périodique.

4)On trace^Csur[0 ; π]puis sur[−π; 0]par symétrie centrale puisque f est impaire.

Enfin, comme f est 2π-périodique, on répète le motif tous les 2πpar translation.

1

−1 π 3 2π

3 π 4π

3 5π 3 2π 7π

3 8π 3 3π 10π

3 11π

3 4π

−^π

−2π 3

−π 3

−4π

−5π 3

−2π 3

−7π

−8π 3

−3π 3

−10π

−11π 3

−4π 3

C